Clase 34: Experimento de Stern Gerlach

 El experimento consiste de la deflexión de un rayo de atomos neutros paramagnéticos al pasar por un campo magnético altamente no-homogéneo en la dirección $z$, de manera que el promedio del campo no se anula.

Se tienen átomo de plata contenidos en un horno a cierta temperatura, los átomos salen del horno a través de una pequeña apertura.

Para un átomo, las causas de momento magnético $\vec{\mu}$ y momento angular $\vec{P}$ son las mismas: el movimiento de los electrones alrededor del núcleo, análogo a los momentos mecánicos clásicos, y el momento angular intrínseco de los electrones. Por lo tanto, para electrón en un mismo nivel atómico, el momento magnético y el momento angular generados son proporcionales entre sí,

$\vec{\mu}=\gamma \vec{P}$ donde $\gamma$ es una constante de proporcionalidad al llamada razón giro-magnética del nivel estudiado.

Dado que los átomos son eléctricamente neutros no se presenta fuerza de Lorentz $q(\vec{E}+\vec{v}\times \vec{B})$. Por otro lado, los átomos poseen un momento magnético permanente $\vec{\mu}$ tal que se presenta una energía potencial $W=-\vec{\mu}\cdot{\vec{B}}$ que genera una fuerza  $\vec{F}=\nabla(\vec{\mu}\cdot{\vec{B}})$, este valor sería 0 si $\vec{B}$ fuera uniforme.

El torque que aplica un electrón en un nivel de energía dado a su atómo es  $\vec{\Gamma}=\vec{\mu}\times{\vec{B}}$ de manera que el cambio en momento ángular viene dado por $\frac{d\vec{P}}{dt}=\Gamma$, ó $\frac{d\vec{P}}{dt}=\gamma\vec{P}\times{\vec{B}}$

Tenemos entonces que el momento angular cambia de manera perpendicular a él mismo y a $\vec{B}$, se comporta como un giroscopio de manera que las componentes de $\vec{\mu}$ perpendiculares al $\vec{B}$ oscilan alrededor de 0 y sus promedios se anulan, la componente paralela a B permanece constante.

Ya que los promedios para las componentes x y y se anulan podemos aproximar en el potencial despreciando los términos $\mu_x$, $\mu_y$ y tomando $\mu_z$ constante, tenemos entonces $\vec{F'}=\nabla(\mu_z B_z)=\mu_z \nabla B_z$

Además, las componentes de $\nabla B_z$ en los ejes x y y son 0, por lo que la fuerza resultante es proporcional a $\mu_z$, de modo que medir la deflexión de los rayos es equivalente a medir $\mu_z$ o $P_z$

Dado que los valores de $\mu_z$ están distribuidos isotrópicamente desde $|\mu|$ hasta $-|\mu|$ y la distribución de velocidades de los átomos que salen del horno, deberíamos obtener una mancha alrededor alrededor de H, sin embargo se obtienen 2 manchas centradas alrededor de N1 y N2, simétricas alrededor de H, el ancho de estas manchas corresponde con la asociada a la distribución de velocidades de lo átomos$

Estos resultados indican que la suposición de un momento $\vec{P}$ cuyo ángulo $\theta$ con el campo $\vec{B}$ puede tomar cualquier valor es incorrecta, en su lugar debemos considerar un cantidad física que puede tomar dos posibles valores, después veremos que estos valores corresponden a  $\frac{\hbar}{2}$ y $-\frac{\hbar}{2}$

Por los postulados de la mecánica cuántica, esta cantidad observable $P_z$ debe estar asociada a un operador hermítico $S_z$ cuyos valores propios son los posibles resultados de las medidas. Sean  $|+ \rangle$ y  $|- \rangle$ los autoestados correspondientes, 

Llegamos a 

$S_z=\frac{\hbar}{2}\begin{bmatrix}1 & 0\\
0 & 1 \\
\end{bmatrix}$

Los operadores $S_x$ y $S_y$ asociados a $P_x$ y $P_y$ no conmutan entre sí pero satisfacen relaciones de conmutación, luego se llegará a la forma explicita de estos operadores en la base  $|+⟩ $ y  $|-⟩ $

$S_x=\frac{\hbar}{2}\begin{bmatrix}0 & 1\\
1 & 0 \\
\end{bmatrix}$

$S_y=\frac{\hbar}{2}\begin{bmatrix}0 & -i\\
i & 0 \\
\end{bmatrix}$

También se puede hallar la representación matricial de un operador $S_u$ asociado a la componente de $P$ en una dirección dada por un vector unitario $\vec{u}$ definido mediante coordenadas esféricas.

$S_u=\frac{\hbar}{2}\begin{bmatrix}cos \theta & sin \theta e^{-i \phi}\\
sin \theta e^{i \phi} & cos \theta \\
\end{bmatrix}$

Vemos que $S_x,$ $S_y$ y $S_u$ tienen todos los mismos autovalores que $S_z$, esto refleja la isotropía del espacio ya que podemos rotar el aparato de Stern Gerlach en un dirección cualquiera y obtener el mismo comportamiento.

Polarizador y analizador

Si utilizamos montaje y añadimos un agujero en la posición N1 tendríamos un sistema que solo permite pasar los átomos con estado de spin $|+ \rangle$, un "polarizador atómico", ya que actúa de la misma manera que un polarizador normal lo hace sobre fotones.

Si en la trayectoria de este rayo añadimos un segundo imán en la misma orientación el resultado obtenido de la medición es seguro, y solo tenemos una mancha

Si rotamos el segundo imán un ángulo $\theta$, los átomos formarán dos posibles manchas  N1 y N2 cuya intensidad es proporcional a $cos^2 \frac{\theta}{2}$ y $sin^2 \frac{\theta}{2}$

De manera que para una segunda medición en ángulo de $P_z$, los átomos que originalmente tenían todos un valor de $\frac{\hbar}{2}$ ahora podrán tomar valores de $\frac{\hbar}{2}$ y $\frac{-\hbar}{2}$ y la proporción entre estos valores dependerá del ángulo en que se mida.

Ejercicio propuesto

En un experimento de Stern-Gerlach, el campo magnético varía con la distancia en la dirección z de acuerdo con $\frac{\mathrm{d} B_z}{\mathrm{d} z}=1.4\ T/mm$. Los átomos de plata viajan una distancia $x=3.5\ cm$ a través del imán. La velocidad más probable de los átomos que emergen del horno es $v=750\ m/s$. Encuentre la separación de los dos haces cuando salen del imán. La masa de un átomo de plata es $1.8\times 10^{-25}\ kg$, y su momento magnético es aproximadamente 1 Bohr magnetón.

Solución:

La energía potencial del momento magnético en el campo magnético es

$$ U=-\vec{\mathbf{\mu}} \cdot \overrightarrow{\mathbf{B}}=-\mu_{z} B_{z}$$

Ya que el campo a lo largo del eje central del imán tiene solo componente en $z$. La fuerza sobre el átomo puede encontrarse de la energía potencial de acuerdo con

$$F_{z}=-\frac{d U}{d z}=\mu_{z} \frac{d B_{z}}{d z}$$

La aceleración de un átomo de plata de masa $m$ mientras pasa por el imán es

$$ a=\frac{F_{z}}{m}=\frac{\mu_{z}\left(d B_{z} / d z\right)}{m}$$

La desviación $\Delta z$ de cada haz puede encontrarse como $\Delta z=\frac{1}{2} a t^{2}$, donde $t$, el tiempo que toma para atravesar el imán equivale a $x/v$. Cada haz es desviado por esta cantidad, entonces la separación neta $d$ es $2\Delta z$, o

$$ \begin{aligned} d &=\frac{\mu_{z}\left(d B_{z} / d z\right) x^{2}}{m v^{2}} \\ &=\frac{\left(9.27 \times 10^{-24} \mathrm{~J} / \mathrm{T}\right)\left(1.4 \times 10^{3} \mathrm{~T} / \mathrm{m}\right)\left(3.5 \times 10^{-2} \mathrm{~m}\right)^{2}}{\left(1.8 \times 10^{-25} \mathrm{~kg}\right)(750 \mathrm{~m} / \mathrm{s})^{2}} \\ &=1.6 \times 10^{-4} \mathrm{~m}=0.16 \mathrm{~mm} \end{aligned} $$

Clase 31: Algunos ejemplos con el momento angular

 El módulo del momento angular está dado por:

$$L^2=-\hbar^2 \left(\frac{\partial^2 }{\partial \theta^2}+\frac{1}{tan\theta}\frac{\partial }{\partial \theta}+\frac{1}{sen^2\theta}\frac{\partial^2 }{\partial \phi^2}\right)$$

Además, los operadores $L_+$ y $L_-$ están dados por:

$$L_+=L_x+iL_y=\hbar e^{i\phi}\left(\frac{\partial }{\partial \theta}+icot\frac{\partial }{\partial \theta}\right)$$

$$L_-=L_x-iL_y=\hbar e^{-i\phi}\left(-\frac{\partial }{\partial \theta}+icot\frac{\partial }{\partial \theta}\right)$$

Que en $\theta=0 \land \theta = \pi$ no se encuentran definidos.

Además, teniendo que se puede separar la función de onda en dos funciones de la forma $\Psi(r,\theta,\phi)=R(r)Y(\theta,\phi)$ y que el momento en z será $L_z=-i\hbar\frac{\partial }{\partial \phi}$, la solución de $Y$ será:

$$Y(\theta,\phi)=\Theta(\theta) e^{im\phi}$$

Para que esta sea univaluada, $m$ debe ser entero y por tanto $j=l$ también lo será. Por esto $m$ se conoce como el momento angular orbital y $-l \leq m \leq l$. Con esto se sigue que:

$$L_+Y_{ll}=0$$

$$\Theta(0)=C_l(sen\theta)^l$$

$$Y_{ll}=C_l(sen\theta)^l e^{il\theta}$$

$$L_\pm Y_{lm}(\theta,\phi)=\hbar \sqrt{l(l+1)-m(m+1)}Y_{l,m\pm 1} $$

Además, $\Psi_{klm}=R_{klm}(r)Y_{lm}(\theta,\phi)$, con R que sólo depende de $k$ y $l$. 

Ahora, si se prepara un sistema en un autoestado $L^2=l(l+1)\hbar^2$ y en un autoestado de $L_z=m\hbar$, entonces se mantienen las relaciones: $\langle L_x \rangle=0$, $\Delta L_x \neq 0 \neq \Delta L_y$, es decir, el sistema tiene que tener precesión ya que estos dos últimos términos nunca son $0$. En particular $\Delta L_y=\hbar \sqrt{\frac{l(l+1)-m^{2}}{2}}$. 

Rotor Rígido

Para el sistema mostrado en la figura donde los dos cuerpos unidos por una barra rotan, el hamiltoniano clásico es:

$$H=\frac{1}{2} I \omega^2=\frac{L^2}{2I}=\frac{L^2}{2\mu r_e^2}$$

De forma cuántica:

$$H|l,m \rangle =\frac{\hbar^{2} l (l+1)}{2\mu r_e^2}|l,m \rangle  $$

$$E_l=\hbar l (l+1) B$$

Con $B=\frac{\hbar}{4\pi \mu r_e^2}$. La energía está cuantizada y depende del número cuántico $l$.

$$\Delta E=2B\hbar l= h\nu$$

Esto quiere decir que hay unas frecuencias permitidas llamadas frecuencias de Bohr.

Oscilador Armónico Bidimensional

Un Oscilador Armónico Bidimensional es un sistema con momento angular. En particular si el movimiento está descrito por:

$$X=Acos(wt)$$

$$Y=Bsen(wt)$$

El Hamiltoniano será:

$$H=H_x+H_y=\frac{p_x^2}{2m}+\frac{1}{2}mw^2x^2+\frac{p_y^2}{2m}+\frac{1}{2}mw^2y^2$$

Luego, la energía total será:

$$E_n=E_{nx}+E_{ny}=(n_x+1/2) \hbar w+(n_y+1/2) \hbar w$$

Se observa que hay degeneración debido a que es posible obtener el mismo $N$ para combinaciones de $n_x$ y $n_y$. Para esto se introduce el momento angular, definiendo:

$$a_x=\frac{1}{\sqrt 2}\left(\beta x + i \frac{p_x}{\beta \hbar}\right)$$

$$a_y=\frac{1}{\sqrt 2}\left(\beta y + i \frac{p_y}{\beta \hbar}\right)$$

Con $[a_x,a_y]=0$. $L_z$ y $H_{xy}$ serán:

$$L_z=x p_y - y p_x$$

$$L_z=i\hbar(a_x a_y^\dagger - a_y a_x^\dagger )$$

$$H_{xy}=(a_x^\dagger a_x  + a_y^\dagger a_y +1) \hbar w $$

Con $[H_{xy},L_z]=0$

 

Editado por Tatiana Ortega Quintero.

Problema Propuesto

Propuesto Cristian Serna, solución por Juan Felipe Zapata.

Por simplicidad se hace $\hbar=1$Además, un electrón está en un estado de momento angular con $l=3$.

a) ¿Cuál es la longitud del vector de momento angular del electrón?

La longitud del operador vectorial $\vec{\hat{L}}$ es $=\sqrt{\vec{\hat{L}} \cdot \vec{\hat{L}} }= \left|\vec{\hat{L}}\right|=\sqrt{l(l+1)}=\sqrt{12}$.

b) ¿Cuántas componentes $z$ diferentes puede tener el vector de momento angular?

Se sabe que $  -3\leq m \leq 3$, por lo tanto el operador vectorial momento angular $\vec{\hat{L}}$ puede tener $2l+1=7$ componentes $z$ diferentes. 

c) ¿Cuál es el valor del ángulo que hace el vector $\vec{L}$ con el eje $z$?