Clase 30: Estados bases para el momento angular orbital

 Anteriormente se había determinado que, dado que los observables, cuando existen operadores de momento angular, los observables que podemos utilizar como parte de un conjunto completo de operadores que conmutan son $J^2$ y $J_z$ (no se usan $J_x$ y $J_y$ porque no conmutan entre sí), por lo cual, los autovalores de $J^2$ en general se pueden escribir como estado base para estudiar el espacio de estados a partir de la siguiente ecuación de autovalores, donde $j\geq0$.

$J^2 |k, j, m\rangle = \hbar^2 j (j+1) |k, j, m\rangle$   (1)

$J_z|k,j,m\rangle  = \hbar m |k, j, m\rangle$     (2)

Además, se mostró que los máximos valores de $m$ son $+j$ y $-j$

Finalmente se mostró que existe un entero positivo $p$ y un entero positivo $q$ (que puede ser igual a cero) tal que: 

$m-p=-j$

$m+q=j$

Con lo que se tiene que, combinando ambas ecuaciones: 

$p+q=2j$

Lo que implica que $j$ es un semientero de la forma $j=\frac{i}{2}$ con $i$ un entero positivo. Este resultado es sumamente importante ya que divide a las partículas individuales entre las que tienen un $j$ asociado entero y las que están asociadas con un $j$ semientero. En la naturaleza no se encuentran partículas que pasen de tener un $j$ asociado entero a tener uno semientero. 

Los estados base

Cuando $j=0$ solo puede tener asociado $m=0$  e implica que el estado base sea $|k, 0, 0 \rangle$, por lo que en este caso pueden haber tantos estados como valores de $k$.

En el caso en el que $j=1$, $m$ puede tomar los valores $m=-1, 0, 1$ con los que se tendrían los posibles estados $|k, 1, -1 \rangle$, $|k, 1, 0 \rangle$ y $|k, 1, 1 \rangle$, y de cada uno habrá tantos estados como valores de $k$.

Cuando $j=\frac{1}{2}$, entonces $m= -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}$, con lo que los posibles estados serán  $|k, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2} \rangle$,  $|k, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\rangle$, y de manera similar, para cada estado base habrán tantos estados como valores de $k$. Note que los valores permitidos de $k$ no dependen de $m$. 

$k$ puede tomar $g(j)$ valores, pues este número no depende de $m$, solo depende de $j$.

Por ejemplo, teniendo un $j$ fijo y valores para $k$ iguales a $k=1, 2 , ...$ se pueden obtener los estados mostrados en la siguiente tabla, la cual constituye una base completa al espacio de estados $\varepsilon$

$k$ es un autovalor asociado a un observable que no es ni $J^2$ o $J_z$, generalmente está asociado con la energía. 

Esta base completa debe cumplir las condiciones de:

•  Ortonormalidad 

$\langle k, j, m | k' , j', m'\rangle = \delta_{kk'} \delta_{jj'} \delta_{mm'}$

• Cerradura

$\sum_{j}\sum_{m=-j}^{+j}\sum_{k=1}^{g(j)} | k , j, m\rangle\langle k, j, m |= 1$

Matrices que representan los operadores de momento angular

El uso de los subespacios $\varepsilon(k,j)$ simplifica considerablemente la búsqueda de la matriz que representa, en una base “estándar” un componente de $J_u$ de $\textbf{J}$ [o una función arbitraria $F(\textbf{J})$]. Los elementos de la matriz de dichos operadores entre dos kets de base pertenecientes a dos subespacios diferentes $\varepsilon(k,j)$ son cero. Por tanto, la matriz tiene la siguiente forma:

Otra simplificación muy importante surge del hecho de que cada una de estas submatrices finitas es independiente de $k$ y del sistema físico en estudio; depende únicamente de $j$ y, por supuesto, del operador que queremos representar. Para ver esto, tenga en cuenta que la definición de $| k , j, m\rangle$ dada en las ecuaciones (1) y (2) en adición a las siguientes: 

$J_{+}| k , j, m\rangle = \hbar \sqrt{j(j+1)-m(m+1) }| k , j, m+1\rangle$    (3)

$J_{-}| k , j, m\rangle = \hbar \sqrt{j(j+1)-m(m-1) }| k , j, m-1\rangle$   (4)

Pero, además, 

$J_{-} J_{+} = J^2-J_{z}^2-\hbar J_z$

$J_{+} J_{-} = J^2-J_{z}^2+i\hbar J_z$

Con lo que se tiene que 

$\langle k , j, m| J_{-}J_{+}|k, j, m \rangle = \langle k , j, m| J^2 - J_z^2 - \hbar J_z |k, j, m \rangle$ (de la ecuación 3)

$\langle k , j, m| J_{+}J_{-}|k, j, m \rangle = \langle k , j, m| J^2 - J_z^2 + i\hbar J_z |k, j, m \rangle$ (de la ecuación (4)

Veamos algunas representaciones matriciales:

• Cuando $j=0$, $m=0$ y $\varepsilon (k, j=0)$. El subespacio es de dimensión 1, por lo cual todos los observables son una constante. (valor numérico)

• Cuando $j=\frac{1}{2}$

$m=-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}$ y $\varepsilon (k, j=\frac{1}{2})$. El espacio es dos dimensional


$J_z|k,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\rangle = \hbar \frac{1}{2} |k, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\rangle$


$J_z|k,\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\rangle = \hbar(-\frac{1}{2}) |k, \frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\rangle$


Luego podemos escribir $J_z$ como:

$J_z = \frac{\hbar}{2} $ $\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1 \\
\end{pmatrix}$

• Cuando $j=1$ 

$m= -1 , 0, 1$ y $\varepsilon (k, j=1)$. El espacio es de dimensión 3 (pues la dimensión está dada por $2 j + 1$).

$J_z = \hbar$ $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ \end{pmatrix}$

$J+ = \hbar$ $\begin{pmatrix} 0 & \sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{2} \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$

$J- = \hbar$ $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ \sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{2} & 0 \\ \end{pmatrix}$

$J_x = \frac{\hbar}{\sqrt{2} }$ $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}$

$J_y = \frac{\hbar}{\sqrt{2} }$ $\begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i  & 0 & -i  \\ 0 & i  & 0 \\ \end{pmatrix}$

Valor esperado o medio 

A partir del desarrollo anterior se tiene que: 

$J_x = \frac{1}{2} (J_+ + J_-)$

$J_y = \frac{1}{2i} (J_+ - J_-)$

Se tiene que: 

$\langle k, j, m| J_x | k, j, m \rangle = 0$ 

Con lo cual  $\langle J_x \rangle = \langle J_y  \rangle = 0$

Luego, 

$J_x^2 = \frac{1}{4} (J_{+}^2 + J_{-}^2 + J_{+}J_{-} + J_{-}J_{+})$

Con esto podemos encontrar $\langle k, j, m| J_x^2 | k, j, m \rangle$. Solo sobreviven los valores de $J_{+}J_{-}$ y $J_{-}J_{+}$, por tanto:

$\langle k, j, m| J_x^2 | k, j, m \rangle = \frac{1}{4}\langle k, j, m| J_{+}J_{-} + J_{-}J_{+} | k, j, m \rangle $

Pero se tiene que $J_{+}J_{-} + J_{-}J_{+}=2(J^2-J_{z}^2)$

Reemplazando se tiene que: 

$\langle k, j, m| J_x^2 | k, j, m \rangle = \frac{\hbar^2}{2} (j(j+1)-m^2) \neq 0$

Similarmente será para $J_y$, pues $\langle J_x \rangle = \langle J_y \rangle = 0$ ($\Delta J_x = \Delta J_y \neq 0$) 

Se tiene la relación $\Delta J_x \Delta J_y \propto J_z \neq 0$, la cual se estudiará más adelante. 

Aplicación al momento angular orbital 

 Deduzca detalladamente las siguientes relaciones:

• $ \left [ \hat{J}^{2},\hat{J}_{\pm } \right ] = 0 $
  
  
• $ \left [ \hat{J}_{z},\hat{J}_{+} \right ] = \hbar\hat{J}_{+} $
  
  
• $ \left [ \hat{J}_{+},\hat{J}_{-} \right ] = \hbar\hat{J}_{z}  $