Clase 8: hipótesis de Broglie y dualidad onda-partícula.

 En lo que se ha visto hasta el momento tenemos: 

• Luz que se comporta como onda, algunos experimentos han demostrado este comportamiento (difracción de rayos X).   
• Luz que se comporta como partícula, algunos experimentos han demostrado este comportamiento (efecto fotoeléctrico). 

La pregunta que surge a continuación se realizó en la tesis doctoral del físico Louis De Broglie en el año 1924 y es la siguiente: ¿Pueden las partículas tener comportamiento ondulatorio? O dicho de mejor manera ¿Es la doble naturaleza partícula-onda una propiedad sólo de la luz o también de los objetos materiales? 

Ondas de materia: 

La hipótesis De Broglie consiste en que en el comportamiento dual de la radiación, es decir, onda-partícula, debería ser igualmente aplicable a la materia. De la siguiente forma: 

• El fotón tiene asociada una onda de luz que gobierna su movimiento. 
• Una partícula de materia (el electrón) tiene asociada una onda de materia que gobierna su movimiento. 

Si se analiza la ecuación: 

$E = hf$    [1]

Donde $E$ representa la energía, $h$ la constante de Planck y $f$ la frecuencia, se encuentra una complicación, ya que para el caso de partículas no se puede estar seguro de si la ecuación representa la energía cinética, la energía total o la energía relativista total. Entonces recordando que el momento lineal para un fotón es $P = \frac{E}{c}$, y reemplazando la ecuación [1] en esta expresión, se obtiene $P = \frac{hf}{c}$. Además, se tiene que $\lambda = \frac{c}{f}$ entonces se llega a: 

$\lambda = \frac{h}{p}  $    [2] 

Esta última expresión es conocida como la relación De Broglie la cual predice la longitud de onda de materia asociada con el movimiento de una partícula de impulso $p$. Se puede hacer un cálculo numérico para masas comunes a la vida cotidiana y es fácil notar que la longitud de onda será muy pequeña para ser observable en un laboratorio. Solo en casos de utilizar masas de partículas (el electrón) es posible medir estas longitudes de onda en un laboratorio (del orden de $10^{-10}$); por tanto, debido a que $h$ es un valor casi nulo solo para escalas atómicas será observable el carácter ondulatorio. 

De lo desarrollado hasta el momento surgen dos preguntas: 

1. ¿Qué tipo de onda es la que tiene la longitud de onda De Broglie? (Un ejemplo clásico que se puede computar fácilmente es para un electrón con energía cinética de $1 eV$ y se obtiene $\lambda \approx 1.2 nm$ )
2. ¿Qué mide la amplitud de onda De Broglie?

Por ahora se toma la hipótesis De Broglie como: asociada a una partícula en movimiento, existe una onda De Broglie de longitud de onda $\lambda$, que se manifiesta cuando se realiza sobre ella un experimento de tipo ondulatorio (difracción). 

Antes de entrar a describir los experimentos que comprobaron la hipótesis De Broglie, es importante recordar que en los experimentos de la óptica geométrica, no se manifiesta la naturaleza ondulatoria de la propagación de la luz si $\frac{\lambda}{a} \approx 0$ donde $a$ es la dimensión característica de un aparato óptico (generalmente se le conoce como ranura o rendija) y $\lambda$ es la longitud de onda de la luz. 

Experimentos de difracción de partículas: 

La ilustración de las ondas de luz se muestra en la figura 1 para la luz que se difracta por una sola ranura. Para una luz de longitud de onda $\lambda$ que incide en una ranura de ancho $a$, los mínimos de difracción se sitúan en ángulos dados por: 

$asin(\theta) = n\lambda$    [3]

FIG 1.

De la figura 1 es claro que la mayor intensidad se encuentra en el orden central. Los experimentos que verifican la hipótesis De Broglie involucran difracción de electrones, no a través de una única ranura sino a través de átomos de cristal. 

En el experimento de difracción de electrones, un haz de estos es acelerado por medio de una diferencia de potencial $\Delta V$, adquiriendo así una energía cinética no relativista $K = e \Delta V$ y un momento $p = \sqrt{2mK}$. La mecánica undulatoria describe el haz de electrones como una onda de longitud $\lambda = \frac{h}{p}$. Este haz golpea un cristal cuya dispersión se puede ver en la figura 2. 

FIG 2. 

La figura 2 sugiere que los electrones tienen un comportamiento ondulatorio. Otra cosa de notar, es que los anillos que se producen en la difracción de rayos X también se producen en la difracción de electrones, esto se puede ver en la figura 3. 

FIG 3. Electron diffraction of
polycrystalline beryllium. 

Los experimentos mostrados en esta figura fueron realizados en 1927 por G.P.Thomson hijo de J.J.Thomson, por esta razón suele decirse que Thomson el padre descubrió la naturaleza de un electrón como partícula y Thomson el hijo descubrió la naturaleza de un electrón como onda. 

En 1926, los laboratorios Bell, donde trabajaban Davisson y Germer investigaron la reflexión de un haz de electrones en una superficie de cristal níquel. El montaje experimental se puede ver en la figura 4. 

Fig 4. Montaje experimental
usado por Davisson y Germer 
para estudiar la difracción de electrones

Un haz de electrones de un filamento F es acelerado a través de una diferencia de potencial $\Delta V$. Luego, pasan a través de una pequeña abertura y él haz golpea un cristal de níquel. Los electrones son dispersados en todas las direcciones por los átomos del cristal, algunos de ellos chocan con un detector que puede desplazarse a un ángulo $\phi$ particular y que mide la intensidad de electrones dispersados.  

FIG 5. Resultados obtenidos
por Davisson y germer

Davisson y Germer obtuvieron resultados experimentales como se puede ver en la figura 5, ellos fijaron la diferencia de voltaje a $54 V$, y midieron la intensidad de la reflexión a un ángulo de $50$°. 

Véase ahora una descripción más técnica de cómo los resultados mostrados anteriormente probaron la hipótesis de Broglie. Cada uno de los átomos de cristal puede actuar como un dispersor, así la dispersión de electrones puede interferir y se tiene que el cristal funciona como una rejilla de difracción. La figura 6 muestra el cristal usado por Davisson y Germer. Como los electrones se suponen de baja energía, no penetran mucho el cristal y basta con considerar que la difracción tiene lugar en el plano de los átomos que se encuentran en la superficie. Esta situación es totalmente análoga al uso de una rejilla de difracción de forma que se refleje la luz. El espacio $d$ entre las filas de átomos en el cristal es similar al espacio entre las aberturas de una rejilla óptica; por tanto, como ya se sabe, los máximos de una rejilla de difracción se producen en ángulos $\phi$ tales que la diferencia de trayecto óptico entre los rayos adyacentes es $dsin(\phi)$ y para que haya una interferencia constructiva esto debe ser igual a múltiplos de la longitud de onda $dsin(\phi)=n \lambda$ con $n=1,2,3, \cdots$. 

FIG 6. Distribución uniforme en los 
átomos de un cristal, donde la separación
entre ellos es $d$. 

Es importante recalcar que la naturaleza ondulatoria de las partículas no es exclusiva de los electrones, cualquier partícula con momento $p$ tiene una longitud De Broglie asociada. Algo de notar, es que en el experimento de Davisson y Germer la interferencia no ocurre entre ondas asociadas con un electrón y con otro, se refiere a la interferencia que ocurre entre las diferentes partes asociadas a las ondas un solo electrón. 

Experimentos de doble ranura con partículas: 

La prueba definitiva de la naturaleza ondulatoria de la luz se dedujó del experimento de Young en 1801. En principio, debería ser posible realizar este tipo de experimentos de doble ranura con partículas y así obtener el comportamiento ondulatorio de estas directamente. Sin embargo, estos experimentos en la época De Broglie eran prácticamente imposibles y no fue hasta el año 1961 que se logró realizar uno de estos. Véase la figura 7. 

Los electrones de un filamento son acelerados a través de una diferencia de potencial de $50 kV$ y pasan a través de una doble ranura de separación $2 um$ y ancho $0.5 um$. Una fotografía de este patrón de intensidad resultante es mostrado en la figura 8. 

FIG 7. Montaje experimental de 
doble ranura para electrones. 

FIG 8. Patrón de interferencia en el experimento
de doble ranura para electrones. 

Es importante recalcar, que experimentos semejantes se pueden realizar para neutrones, átomos e incluso objetos más grandes. La figura 9 muestra el patrón producido por moléculas C60 al pasar por una rejilla de difracción de $d = 100 nm$. 

Una pregunta que se hizo de forma natural en la época al hacer experimentación por doble ranura fue la siguiente: ¿A través de qué abertura pasa la partícula? Cuando se hace este tipo de experimentos es tentador pensar por cuál rendija pasará la partícula; se proponen varias formas interesantes para realizar el conteo. 

FIG 9. Experimento para tratar de contar
el número de partículas que pasa por 
cada ranura. 

1. Una forma es rodear cada ranura con un bucle electromagnético de tal forma que cada vez que pase una partícula el medidor se desvíe. 
2. Otra forma es disparar las partículas a través de las ranuras a una velocidad muy lenta, tal que podríamos seguir cada partícula mientras pasa por una u otra ranura y luego cuando aparezca en la pantalla. 

Si se realiza cualquiera de estos dos experimentos o cualesquiera que venga a nuestra mente, se ve un patrón de interferencia como el de la figura 9 con registros delante de cada ranura, pero sin franjas de interferencia. La explicación más lógica a este caso es que cuando se pregunta por cuál ranura pasó la partícula, estamos investigando sólo los aspectos del comportamiento como partícula y no se puede observar su naturaleza ondulatoria; lo mismo ocurre a la inversa. Acá nace un principio conocido como principio de complementariedad que fue postulado por el físico Niels Bohr. 

El principio dice:  

"los modelos corpuscular y ondulatorio son complementarios; si una medida prueba el carácter ondulatorio de la radiación o la materia, entonces es imposible probar la naturaleza corpuscular en el mismo experimento. De forma inversa, si una medida prueba el carácter corpuscular de la radiación o la materia, entonces es imposible probar la naturaleza ondulatoria en el mismo experimento ". 

Principio de incertidumbre:

Para introducirse al principio de incertidumbre, es importante recordar lo que nos dice la mecánica clásica. En mecánica clásica, pueden resolverse las ecuaciones de movimiento de un sistema con fuerzas dadas, para obtener la posición y el momento de una partícula para todo valor del tiempo. Todo lo que se necesita conocer es la posición y el impulso de la partícula para algún valor en el tiempo, dadas unas condiciones iniciales. El movimiento futuro será determinado exactamente. Algo que se debe tener en cuenta es que al realizar observaciones, el observador interactúa con el sistema, esto es fundamental para ver qué dice el principio de incertidumbre. El primer golpe que sufre la mecánica clásica es la demostración de Einstein el cual aclara que la simultaneidad no era un concepto absoluto, sino que es un concepto relativo. El principio de incertidumbre va a ser el segundo golpe. 

Se sabe que una diferencia visual entre una onda y una partícula, es la extensión en el espacio de cada una de estas; por tanto se puede escribir la extensión de una onda como: 

$\Delta x \approx n\Delta \lambda $    [3]

Si se define la constate reducida de Planck $\hbar$ que es simplemente $\hbar = \frac{h}{2\pi}$ se puede hacer un desarrollo partiendo desde el número de onda: 

$k = \frac{2 \pi}{\lambda}$    [4] : # de onda

$k = \frac{2\pi p}{h}$ : Definición de $\lambda$ impuesta por De Broglie

$k = \frac{p}{(\frac{h}{2\pi})} = \frac{p}{\hbar}$    [5]

Si se diferencia la ecuación [4] con respecto a $\lambda$ se tiene:

$dk = 2\pi \frac{d}{d\lambda} (\frac{1}{\lambda})= -\frac{2\pi}{\lambda^2} \Delta \lambda$    [6]

Ahora se diferencia la ecuación [5]: 

$dk = \frac{dp}{\hbar}$    [7]

Igualando las expresiones [6] y [7] se llega a: 

$\Delta p = \hbar (\frac{2\pi}{\lambda^2} \Delta \lambda)$

Y además de [3]: 

$\Delta \lambda \sim \epsilon(\frac{\Delta x}{n})$

Donde $\epsilon$ representa una incertidumbre en la medida. Así de una forma no detallada se puede llegar a que: 

$\Delta x \Delta p \sim \neq 0$    [8]

En otras palabras, la ecuación [8] dice que una onda o partícula no se puede localizar en un espacio de fase ya que está dispersa. Así, el principio de incertidumbre afirma que en un experimento no se puede determinar simultáneamente el valor exacto de una componente del momento y también el valor exacto de la posición. Es decir, la precisión en la medición estará inherentemente limitada por el proceso de medida en sí. La ecuación que expresa el principio de incertidumbre es: 

$\Delta x\Delta p \geq \frac{\hbar}{2}$    [9]

Es importante recalcar que el principio afirma que aún con instrumentos ideales nunca se puede llegar al límite impuesto por la ecuación [9]. Se puede observar de esta ecuación que entre más se modifique un experimento para mejorar $p$ ($px$ ya que trabajamos en una dirección), más se sacrifica la habilidad de poder determinar x con precisión, es decir: 

$$\Delta p_x \sim 0 \mapsto \Delta x \sim \infty$$

En resumen en palabras del profesor: "en la práctica el principio de incertidumbre es un termómetro que nos sirve para saber si un problema cuántico vale la pena o no". 

Referencias: 

1. Modern physics. Kenneth Krane. Third Edition. Chapter Fourth. 

2. Física cuántica, átomos, moléculas, sólidos, núcleos y partículas. Eisberg & Resnick. Limusa Noriega editores. 

3. Modern Physics. Raymond A. Serway, Clement J. Moses & Curt A. Moyer. Third Edition. Problem 7, page 102. 

Ejercicio (Molécula de nitrógeno como onda de Broglie) 

Encuentre la longitud de onda de Broglie de una molécula de nitrógeno en el aire dentro de una habitación a una temperatura de 293K. Si la densidad del aire a esta temperatura es de $1.292 kg/m^3$, encuentre la distancia promedio entre las moléculas de aire a esta temperatura y compárelas con la longitud de onda de Broglie. ¿Qué concluye usted acerca de la importancia de los efectos cuánticos en una habitación a temperatura ambiente (293K)?. Estime la temperatura para cual los efectos cuánticos pueden volverse relevantes.

Problema extraído del libro Modern physics, 3rd edition, Krane

Solucion

 a) Para determinar la distancia de máximo acercamiento de la partícula alfa al núcleo de oro, se debe tener en cuenta que esta distancia se alcanza cuando la energía cinética de la partícula es cero; en este orden de ideas al plantear la energía total del sistema se tiene

$$E = E_k + U = 0+ U = U$$ [1]

donde $E_k$ y $U$ representan la energía cinética y potencial de la partícula alfa, respectivamente. Esta última cantidad representa entonces la energía potencial de interacción entre la partícula alfa con $Z_\alpha = 2$ y el núcleo de oro con $Z_o = 79$ y cuya expresión está dada por:

$$U = \frac{1}{4\pi \varepsilon _0}\frac{2e\cdot 79e}{r_{max}}$$ [2]

Sustituyendo la ecuación [1] en [2] y despejando $r_{max}$ se encuentra el valor de máximo acercamiento 

$$r_{max}= \frac{1}{4\pi \varepsilon _0}\frac{2e\cdot 79e}{E}$$

$$ r_{max}= (8,99\cdot 10^9)\frac{2\cdot 79\cdot (1,602\cdot 10^{-19})^2}{(4\cdot 10^6)\cdot (1,602\cdot 10^{-19})}=5,689\cdot 10^{-14}m $$

b) Para encontrar la fuerza máxima ejercida sobre la partícula alfa, se debe tener en cuenta que esta se da cuando $r$ es mínimo, es decir, cuando la coordenada radial de la partícula alfa medida desde el centro de fuerza es pequeña (máximo acercamiento). De esta manera, la fuerza máxima corresponde a:

$$F_{max}= \frac{1}{4\pi \varepsilon _0}\frac{2e\cdot 79e}{r_{max}^2}$$

$$F_{max}=  (8,99\cdot 10^9) \cdot \frac{2\cdot 79(1,602\cdot 10^{-19})^2}{(5,689\cdot 10^{-14})^2} = 11,3 N$$

Resuelto por: Valentina Pérez Cadavid.