Una clave de la teoría de la estructura atómica fue la predicción del espectro de radiación electromagnética emitida por ciertos átomos. Por esto, la idea del fenómeno de ionización tras descargas eléctricas y la aparición de espectros con un conjunto de líneas discretas ordenadas de acuerdo con su longitud de onda, fue bastante estudiada y se establecieron ciertos mecanismos o instrumentos para medir esos espectros.
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| Figura 1: Esquema de una composición de instrumentos para medir el espectro. |
Dado que cada tipo de átomo tiene su propio espectro característico, este último se vuelve muy útil para el análisis químico; se vuelve una forma de identificar la composición química de cuerpos tan importantes como por ejemplo el Sol. De aquí que se estudiara más a fondo una posible regularidad en la aparición de las líneas espectrales asociadas a un elemento en particular y se obtuvieran algunas series de estas líneas:
- Líneas o series de Balmer: Tras analizar la separación en longitudes de onda de líneas adyacentes del espectro del Hidrógeno, la cual decrece a medida que disminuye la longitud de onda de las líneas hasta que el conjunto de ellas converge hacia un límite a 364.56 nm (correspondiente al rango Ultravioleta), Balmer descubrió en 1885 la siguiente fórmula empírica que representa la longitud de onda de las líneas espectrales observadas
$\lambda=364.56 \frac{n^2}{n^2-4}$
para n>2. Con esta fórmula para cada valor de n se obtenía entonces una línea del espectro del Hidrógeno. Así, con n=3 (transición del nivel 3 al 2) se tiene la línea $H_\alpha$ correspondiente a $\lambda=656.3 nm$, con n=4 (transición del nivel 4 al 2) se tiene la línea $H_\beta$ correspondiente a $\lambda=486.1 nm$, con n=5 (transición del nivel 5 al 2) se tiene la línea $H_\gamma$ correspondiente a $\lambda=434.1 nm$, etc.
- Líneas o series de Lyman: Análogo a lo ya mencionado para las líneas de Balmer, pero esta vez a raíz del estudio del espectro ultravioleta del Hidrógeno, aparecen las líneas de Lyman teniendo como nivel de energía de referencia el n=1
De intentar encontrar una fórmula para ligar las distintas
líneas de emisión, aparece la fórmula de Rydberg (1890) que adquiere distintas
versiones para generar diferentes series de líneas o también la siguiente fórmula
$\lambda=\lambda_o\frac{n^2}{n^2-n_o^2}$
donde $\lambda_o$ es la longitud de onda asociada al límite de cada serie, $n_o$ es el nivel de referencia para cada serie y $n=n_o+1,n_o+2,…$ se refiere al nivel de transición. De esta forma se obtienen las series de Balmer con $n_o=2$, las series de Lyman con $n_o=1$, las de Paschen con $n_o=3$, Brackett con $n_o=4$ y Pfund con $n_o=5$, que se pueden observar en particular para el espectro del Hidrógeno en la siguiente figura.
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| Figura 2: Series de líneas espectrales del Hidrógeno. |
Ahora, para responder a la pregunta sobre cómo es la distribución de las cargas positivas y negativas dentro del átomo y qué dentro de esa estructura puede dar lugar a las líneas espectrales, resultaron algunos modelos atómicos:
- Modelo de Thomson:
Thomson (1904) propone un modelo en el que los electrones están localizados dentro de una distribución continua de carga positiva asumida como una esfera con un radio del orden de magnitud del radio atómico ($10^{-10} m$), por lo que debido a la repulsión mutua los electrones estarían uniformemente distribuidos a través de esta esfera (figura 3). La existencia de igual carga positiva y negativa es lo que hace a los átomos neutros y los mantiene estables.
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| Figura 3: Modelo del átomo de Thomson. |
Ante estas inconsistencias del modelo de Thomson, Rutherford
(estudiante de Thomson) en 1911 a partir del análisis de experimentos de
dispersión de partículas $\alpha$, mostró que la carga positiva se encontraba
en una pequeña región (núcleo) en el centro del átomo, en vez de extenderse por
todo este.
Este proceso de poner a prueba el modelo de Thomson consistió en un montaje que tenía una fuente que emitía partículas $\alpha$ (átomos de He doblemente ionizados con carga |2e|) que se hacían pasar por un par de diafragmas para colimarlas en un haz paralelo. Este haz se hacía incidir sobre una lámina delgada de alguna sustancia, usualmente un metal, dentro de la cual cada partícula experimentaba pequeñas deflexiones producto de la fuerza de Coulomb actuando entre su carga y las cargas de los átomos de la lámina, que al final hacían que el haz saliera de ésta no como un haz paralelo sino como uno divergente. Internamente esto se podría representar con la siguiente figura
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| Figura 4: Dispersión de las partículas dentro de una lámina delgada. |
donde la lámina cuenta con cierto número de átomos N por
unidad de volumen dada la densidad del material. Ahora, tomando que las partículas $\alpha$, que tienen carga positiva igual a 2e, inciden en un átomo de radio R con una carga
positiva uniforme igual a Ze (donde Z es el número atómico), de acuerdo a la
figura 3 la fuerza sobre la partícula a una distancia r del centro estará dada
por
$F=\frac{2Ze^2}{4\pi\epsilon_oR^3}r$
Teniendo en cuenta que de la segunda ley de Newton
$F=\frac{\Delta P}{\Delta t}$
y que de la geometría de la figura 5 el átomo ejerce una
fuerza en la dirección $y$ que produce una componente del momentum en esa
dirección tal que $\tan{\theta}=p_y/p_x$, y bajo la estimación de que $r=R/2$ se
puede aproximar que
$p_y\approx F\Delta t \approx \frac{2Ze^2(R/2)}{4\pi\epsilon_oR^3}\frac{R}{v}=\frac{2Ze^2}{8\pi\epsilon_oRv}$
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| Figura 5: Trayectoria de una partícula $\alpha$. |
Ahora, bajo la aproximación de ángulos pequeños es cierto
que $\tan{\theta}\approx\theta$ así que
$\tan{\theta}\approx\theta=\frac{p_y}{p_x}=\frac{p_y}{mv}=\frac{2Ze^2}{8\pi\epsilon_oRv}\frac{1}{mv}=\frac{2Ze^2}{16\pi\epsilon_o RE_k}$
donde $E_k$ es la energía cinética. De esta manera, asumiendo
una lámina de oro (Z=79, R=0.179 nm) y una energía cinética de 3MeV se obtiene que
el ángulo de dispersión o desviación promedio $\theta_{av}$ es
$\theta_{av}=\frac{1}{4}\frac{e^2}{4\pi\epsilon_o}\frac{(2)(79)}{(0.179)(3\times10^6)}=1.06\times10^{-4}rad\approx
1\times 10^{-4}rad$
lo que corresponde a un valor muy pequeño para la desviación esperada producto de la interacción. Además, retomando la idea de que en la lámina hay cierto número N de átomos, el ángulo total de desviación estará determinado por un tratamiento estadístico pues puede haber ángulos más grandes o pequeños, de manera que
$\theta_{desv}\approx \theta_{av}\sqrt{N}$
y de analizar la fracción de partículas que llegaban al detector como función de $\theta$ y $r$ y para diferentes energías cinéticas de las partículas, se llegó experimentalmente a valores de $\theta_{desv}$ muy grandes que no se podían explicar con el modelo de Thomson.
- Modelo de Rutherford:
Del resultado antes mencionado, Rutherford
concluye que la forma más probable de obtener esos ángulos grandes es tras una
colisión con un objeto más masivo, por lo que propone entonces en su modelo que
la masa y la carga positiva del átomo no están distribuidas uniformemente sobre
el volumen del átomo, sino que están concentradas en una región pequeña en el centro
de éste llamada núcleo.
Bajo este caso las desviaciones pueden estar dadas como en la siguiente figura
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| Figura 6: Dispersión en el átomo de Rutherford; las trayectorias son hipérbolas. |
donde b se conoce como el parámetro de impacto, y suponiendo que las partículas no cruzan el interior del núcleo e interacciones inelásticas, la fuerza de Coulomb (responsable de la desviación) estará dada por
$F=\frac{2Ze^2}{4\pi\epsilon_o r^2}$
y a partir de allí se puede encontrar (el desarrollo
puede verse en el apéndice E del libro de Eisberg 2nd ed.) que las partículas
siguen trayectorias hiperbólicas y que por ende el ángulo de desvío estará
determinado por el ángulo que forman las asíntotas de dichas hipérbolas. Siguiendo
esta idea, la tasa a la que las partículas se dispersan en un detector con
cierta área está dada por
$N(\theta)=\frac{nt}{4r^2}\left(\frac{zZ}{2E_k}\right)^2\left(\frac{e^2}{4\pi\epsilon_o}\right)^2\frac{1}{\sin{\frac{1}{2}\theta}^4}$
donde $nt$ es el número de núcleos por
unidad de área ($nt=N_A\rho t/M$ con M la masa molar del material de la lámina).
Esta última expresión se conoce como fórmula de dispersión de Rutherford y a
partir de ella se pueden obtener gráficas como la de la siguiente figura, en la
que se observa la dependencia de la tasa de dispersión con el grosor de la
lámina.
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| Figura 7: Tasa de dispersión en función del espesor de la lámina para distintos materiales. |
Como consecuencias de este modelo está por ejemplo la idea de que los electrones se encuentran en órbitas alrededor del núcleo determinadas por la ley de Coulomb. Teniendo esto presente, si se tiene en cuenta ahora que los electrones al estar acelerados emiten radiación y que esa potencia radiada es proporcional al cuadrado de dicha aceleración, esa pérdida de energía por radiación de dichos electrones en órbita haría que esa estructura del átomo no fuese estable pues estos terminarían cayendo lentamente al núcleo (se volvería al átomo de Thomson). Entonces como resultado de tomar leyes de Newton al describir la aceleración experimentada y las leyes de Maxwell al asumir que se produce radiación, se muestra que la teoría clásica tiene un problema por ejemplo para explicar la estabilidad del átomo y en ese punto aparece entonces la Hipótesis cuántica y el modelo de Bohr.
- Modelo de Bohr
A partir de esto Bohr formula las siguientes hipótesis.
1. El momento angular del electrón en su órbita es un múltiplo de h, es decir, está cuantizado.$L=mvr=n\hbar$
Con $\hbar=h/2\pi$ y $n$ un entero.
Cualquier órbita que no cumpla con esta condición estará prohibida.
2. Los electrones en estas órbitas circulares no radian energía.
3. Los electrones que cambian de una órbita a otra sí radian energía.
Teniendo esto podemos utilizar la nueva fórmula del momento angular y relacionarlo con las fórmulas de energía descritas anteriormente para obtener la siguiente ecuación de las órbitas permitidas:
$r_n=a_0 n^2$
A $a_0=0.053\ nm$ se le conoce como el Radio de Bohr. Esta ecuación implica que el átomo de Bohr tiene órbitas proporcionales a un número entero al cuadrado.
Para finalizar, la energía tendrá la siguiente forma:
$E_n=-\frac{E_0}{n^2}=-\frac{13.6\ eV}{n^2}$
Como $\lambda$ está relacionada con $E_n$ entonces $\lambda$ también estará relacionada con $n^2$, lo que habíamos visto al inicio en la descripción de las líneas de Balmer. Es entonces este modelo la primera explicación consistente con los resultados de espectroscopía.
Referencias:
- Eisberg, R., & Resnick, R. (1985). QUANTUM PHYSICS of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei and Particles (2.a ed.). John Wiley & Sons.
- Krane, K. (2012). Modern Physics (3.a ed.). John Wiley & Sons, Inc.
Un haz de partículas alfa incide sobre un blanco de plomo. Cierta partícula alfa choca "de frente" con un núcleo particular de plomo, y se detiene a $6.50 \times 10^{-14}m$ del centro del núcleo (ese acercamiento máximo está muy por fuera del núcleo). Suponga que el núcleo de plomo que tiene 82 protones, permanece en reposo. La masa de la partícula alfa es $6.64 \times 10^{-27}kg$. $a)$ Calcule la energía potencial electrostática en el instante en el que se detiene la partícula alfa. Exprese su respuesta joules y en MeV. $b)$ ¿Qué energía cinética inicial (en joules y MeV) tenía la partícula alfa? $c)$ ¿Cuál fue la velocidad inicial de la partícula alfa?
Solución por Cristian Serna.
a) La energía potencial electrostática en el instante en el que se detiene se calcula a partir de $U=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{qQ}{r}$. En este caso, sea q la carga de cada partícula $\alpha$, y es q=$3.2 \times 10^{-19} C$, y sea Q la carga del núcleo de plomo, $Q=82 \times 1.602\times10^{-19} C = 131.364\times10^{-19} C$. Usando estos datos y $r=6.50\times10^{-14} m$ :
$U=\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{(131.364 \times 10^{-19} C)(3.2 \times10^{-19} C)}{6.50\times10^{-14} m}=5.812\times10^{-13} J$
Así, la energía potencial electrostática es:
$U=5.812\times10^{-13} J=3.628 MeV$
b) Asumiendo que la energía potencial inicial de las partículas $\alpha$ es 0 (lo que se puede lograr cuando las partículas están muy lejos del núcleo), la energía cinética inicial sería la misma que la energía potencial final por conservación de la energía:
$T_i=5.812\times10^{-13} J=3.628 MeV$
c) La velocidad inicial se calcula a partir de la energía cinética inicial como: $v=\sqrt{\frac{2T_i}{m}}=\sqrt{\frac{2(5.812\times10^{-13} J)}{6.64 \times 10^{-27}kg}}=13231.03 km/s$
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