Operadores diferenciales
Sea $\Psi(x,t)=\psi(x)\cdot e^{-iwt}$ la solución a la ecuación diferencial de Schrodinger unidimensional, y $\psi(x)$ la solución independiente del tiempo de esta.
Con $\psi(x)=e^{ikx}$ y en general $k^{2}=\frac{2mE-V_{0}}{\hbar^{2}}$
Recordamos el valor medio de x:
$<x>=\int_{v}^{} \psi^{*}(x) x\psi(x)dx$
Nos preguntamos que significado tendrá entonces <p> y <E> y antes de ello realizamos el siguiente desarrollo matemático:
Sabemos por ondas de Broglie que $\lambda = h/p$ y por la cuantización de la energía propuesta por Einstein $E=\hbar \cdot \omega$
$\frac{\partial\psi(x) }{\partial x} = ik \psi(x)$
De donde $ - \psi(x)^{*} \hbar i \cdot \frac{\partial}{\partial x} \psi(x) = p $ y por otro lado tambien
$\frac{\partial e^{-iwt} }{\partial t}= (-iw) e^{-iwt}$
De donde $e^{iwt} \hbar i \cdot \frac{\partial }{\partial t} e^{-iwt}= E $
Luego podemos concluir para <p> y <E> :
$<p>=\int_{v}^{} \psi^{*}(x) p \psi(x) = \int_{v}^{} \psi^{*}\frac{\partial}{\partial x}\psi(x)dx$
$<E>=\int_{v}^{} \psi^{*}(x) E \psi(x) = \int_{v}^{} \psi^{*}\frac{\partial}{\partial t}\psi(x)dx$
Principio de incertidumbre
Puede mostrarse a partir de el análisis de Fourier que una combinación de ondas no moduladas, cuyos números de onda cubren en forma continua, el intervalo de longitud $\Delta k$ formaran un grupo de longitud $\Delta x$ con $\Delta x \cdot \Delta k \leq 1/(2\pi)$
Donde el valor exacto de la constante viene dado por las amplitudes relativas de la ondas no moduladas que determinan la forma del grupo. Nos referimos a grupo como el conjunto de ondas que interfieren con una frecuencia muy cercana.
Si tenemos entonces una función de onda monocromática, donde $\Delta k=0$ entonces loa onda va a estar esparcida en todo el espacio $\Delta x=\inf$lo cual no vamuy de la mano con los sistemas físicos reales.
Fundamentos de física moderna (Eisberg)
La ecuación anterior utilizando el postulado de Broglie puede convertirse en :
$\Delta x \cdot \Delta p \leq \hbar/2$
Una forma de estudiar este fenómeno es atreves de la transformada de Fourier, veamos $\psi(x)$ como un paquete de ondas ques es la combinación lineal de ondas monocromaticas.
$\psi(x)=\int_{-\infty}^{\infty} g(k) \cdot e^{ikx} dk $
donde sabemos por el teorema de Nyquist-Shanon que para poder recuperar la información de una señal atreves de la transformada de Fourier, necesitamos obtener un muestreo talque f_max=1/(2\Delta x)
El enunciado del teorema dice "Si un sistema muestrea de manera uniforme una señal analógica a una frecuencia que excede la frecuencia más alta de la señal en al menos un factor de dos, la señal analógica original se puede recuperar perfectamente de los valores discretos producidos por el muestreo."
Por tanto tenemos una incapacidad para medir estas dos cantidades con gran precisión estos valores.
Algunas Herramientas matemáticas
Al pasar de una sola dimensión a todo el espacio
$\int a\left | \psi(x)\right |^{2} dx \rightarrow \int_{v} a\left | \psi(\overset{\rightarrow}{r}) \right |^{2} d\overset{\rightarrow}{r}$
donde $\psi(\overset{\rightarrow}{r}) \in L^{2}$ (Funciones cuadrado integrable) y en general pertenecen al espacio vectorial de las funciones $F$
Sea $\psi \in F, \lambda \in \mathbb{C}$ tenemos :
$\psi(\overset{\rightarrow}{r}) = \lambda_1 \psi_1(\overset{\rightarrow}{r})+\lambda_2 \psi_2(\overset{\rightarrow}{r})$ donde $\psi_1, \psi_2 \in F y \lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{C}$
O en otras palabras, \psi se puede escirbir como combinación lineal de elementos del espacio de funciones $F$.
Definimos entonces el producto escalar de $F$ x $F \rightarrow escalar$ tal que $\psi \cdot \varphi = (\psi, \varphi) \in \mathbb{C}$, con $\psi, \varphi \in F$
$(\psi, \varphi) = \int_{v} d\overset{\rightarrow}{r} \psi^{*} \varphi$
Definimos el operador lineal A tal que :
$A\psi = \psi^{*}$
$A(\lambda \psi_1+\psi_2) = \lambda \psi_1^{*}+\psi_2^{*}$
Otros ejemplos de operador lineal son el operador diferencial $\frac{\partial}{\partial x}$ o el operador $\Pi \psi(x) = \psi(-x)$
Bases
Hay 2 tipos de bases, estas pueden ser discretas o continuas.
Sea $\psi,\varphi\in F$, definimos su producto punto como:
$(\psi, \varphi) = (\varphi,\psi)^{*}$ (Hermético).
$(\psi, \lambda \varphi_1+\lambda \varphi_2)= \lambda(\psi,\varphi_1)+\lambda(\psi,\varphi_2)$ (Lineal en el primer argumento).
Y además este producto punto tienen una norma, por lo cual asegurando que no hay valores no degenerados, tendremos en toda regla un producto escalar.
$(\psi, \psi) = \int_{v} \left | \psi(\overset{\rightarrow}{r}) \right |^{2} d\overset{\rightarrow}{r}$
Si expresamos uno de estos vectores como la combinación lineal de elementos de una base discreta.
$\psi(\overset{\rightarrow}{r})=\sum_{i} c_i u_i(\overset{\rightarrow}{r})$
Realizando el producto punto
$(u_j,\psi(\overset{\rightarrow}{r}))=\sum_{i} (u_j,c_i u_i(\overset{\rightarrow}{r}))$
Luego obtenemos que los coeficientes son:
$(u_j, \psi) = c_j$
Sean entonces :
$\psi(\overset{\rightarrow}{r})=\sum_{i} c_i u_i(\overset{\rightarrow}{r})$ y $\varphi(\overset{\rightarrow}{r})=\sum_{i} b_i v_i(\overset{\rightarrow}{r})$
$(\psi(\overset{\rightarrow}{r}),\varphi(\overset{\rightarrow}{r})) =\int_{v} (\sum_{i} c_i u_i(\overset{\rightarrow}{r}))(\sum_{i} b_i v_i(\overset{\rightarrow}{r})) dv$
Completez de Base
remplanzando el valor de $c_i$
$\sum_{i}c_i u_i = \sum(u_i,\psi) u(r)$
Expresando en términos de la integral del producto punto.
$= \sum_{i}[\int u_{i}^{*}(r)\psi(r) dv] u_i(r)$
$=\int dv \psi(r´)\sum_{i}u_{i}^{*}(r) u_i(r)$
De la definición de delta de Dirac.
$=\int dv \psi(r´) \delta(r-r´)$
Bases de F que no pertenecen a F.
$\psi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}}\int_{-\infty}^{\infty}dp \bar{\psi(p)} e^{ipx/\hbar}$
$\bar{\psi(p)} = \frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}}\int_{-\infty}^{\infty}dp \psi(p) e^{-ipx/\hbar}$
Donde$\bar{\psi}$ corresponde a la transformada de Fourier de la función $\psi$
Sea una función particular
$v_p(x)=\frac{1}{\sqrt(2\pi\hbar)}e^{ipx/\hbar}$
Podemos leer esta función como una combinación lineal de exponenciales con indice continuo p.
$=\int dp \bar{\psi(p)} v_p(x)$
$(v_{p´}(x),\psi(x))= \int dx v_{p´}^{*}(x) \psi(x) =\bar{\psi(p´)}$
$\psi(x)= \int dp v_{p}(x) \bar{\psi(x)}$
Recordando la transformada de fourier de \psi a que es equivalenete
$= \int dp v_{p}(x) (v_p,\psi(x))$
Como ya conocemos la representación integral del producto punto
$= \int \int dp dx´ v_{p}(x) v_{p}^{*}(x´) \psi(x)$
De la definición de delta de Dirac y reorganizando
$=\int dx´ \psi(x´) \delta(x-x´)$
Luego podemos concluir que :
$\delta(x-x´)=\frac{1}{2\pi\hbar}\int_{-\infty}^{\infty}dp e^{\frac{ip(x-x´)}{\hbar}}$
$\delta(p-p´)=\frac{1}{2\pi\hbar}\int_{-\infty}^{\infty}dx e^{\frac{ix(p-p´)}{\hbar}}$
De donde observamos una nueva forma del principio de incertidumbre, ya que tenemos ciertas restricciónes a la hora de escoger los valores de p y x
¿Por qué decimos que la base no pertenece al espacio vectorial'?
Esto corresponde a que :
$(v_p,v_p)= \frac{1}{2\pi\hbar}\int v_{p}^{*}(x)v_p(x)dx \rightarrow \infty $
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Aplicación: Operador impulso angular en coordenadas esféricas
El operador momento angular orbital es de gran uso en la mecánica cuántica esto por el hecho que ofrece grandes ventajas en problemas con simetría de rotación los cuales aparecen justamente en sistemas moleculares, atómicos, etc. En esta aplicación se muestra como trabajar con el operador momento angular orbital en diferentes sistemas coordenados, solo se muestra el caso de coordenadas cartesianas y esféricas.
En coordenadas rectangulares los operadores para las tres componentes del momento angular orbital son:
$L_x = -i \hbar(y \frac{\partial}{\partial z} - z \frac{\partial}{\partial y})$ [1]
$L_y = -i \hbar(z \frac{\partial}{\partial x} - x \frac{\partial}{\partial z})$ [2]
$L_z = -i \hbar(x \frac{\partial}{\partial y} - y \frac{\partial}{\partial x})$ [3]
Además, la relación entre coordenadas cartesianas y las coordenadas esféricas es:
$x = r \sin{\theta} \cos(\phi)$ [4]
$y = r \sin(\theta) \sin(\phi)$ [5]
$z = r \cos(\theta)$ [6]
Para resolver el problema de escribir el momento angular orbital en otras coordenadas, se debe buscar una representación alternativa
de las derivadas parciales en coordenadas rectangular en las nuevas coordenadas.
Para esto se hace uso de la regla de la cadena de la siguiente forma:
Componente en r:
Por regla de la cadena se puede escribir:
$\frac{\partial}{\partial r} = \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial r} + \frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial r} + \frac{\partial}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial r}$
De las ecuaciones $[4,5,6]$ se encuentra que:
$\frac{\partial x}{\partial r} = \sin(\theta) \cos(\phi) $ ; $\frac{\partial y}{\partial r}=\sin(\theta) \sin(\phi)$ ; $\frac{\partial z}{\partial r} = \cos(\theta)$
Así se encuentra que:
$\boxed{\frac{\partial}{\partial r} = \sin(\theta) \cos(\phi) \frac{\partial}{\partial x} +\sin(\theta) \sin(\phi)\frac{\partial}{\partial y} + \cos(\theta)\frac{\partial}{\partial z} }$ [7]
Componente en $\theta$:
De la misma forma, se parte desde la regla de la cadena:
$\frac{\partial}{\partial \theta} = \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial \theta} + \frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial \theta} + \frac{\partial}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial \theta}$
De las ecuaciones $[4,5,6]$ se encuentra que:
$\frac{\partial x}{\partial \theta} = r \cos(\theta) \cos(\phi)$; $\frac{\partial y}{\partial \theta} = r \cos(\theta) \sin(\phi)$; $\frac{\partial z}{\partial \theta} = -r \sin(\theta)$
En términos de operadores esto queda:
$\boxed{ \frac{\partial}{\partial \theta} = rcos(\theta)cos(\phi)\frac{\partial}{\partial x} + rcos(\theta)sin(\phi)\frac{\partial}{\partial y} - rsin(\theta)\frac{\partial}{\partial z}}$ [8]
Componente en $\phi$:
La regla de la cadena en este caso es:
$\frac{\partial}{\partial \phi} = \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial \phi} + \frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial \phi} + \frac{\partial}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial \phi}$
De las ecuaciones $[4,5,6]$ se encuentra que:
$\frac{\partial x}{\partial \phi} = -rsin(\theta)sin(\phi)$; $\frac{\partial y}{\partial \phi} = r sin(\theta) cos(\phi)$; $\frac{\partial z}{\partial \phi} = 0$
En términos de operadores se tiene:
$\boxed{ \frac{\partial}{\partial \phi} = -rsin(\theta)sin(\phi) \frac{\partial}{\partial x} + rsin(\theta)cos(\phi)\frac{\partial}{\partial y} }$ [9]
De las ecuaciones $[7,8,9]$ con las parciales de las coordenadas rectangulares podemos relacionarlas matricialmente de la forma:
Tomando la inversa a ambos lados y obteniento la inversa mediante la librería simpy en python se llega a:
Así se llega a las siguientes tres expresiones que son fundamentales:
$$\partial_x = sin(\theta)cos(\phi) \partial_r + \frac{cos(\theta)cos(\phi)}{r}\partial_\theta - \frac{sin(\phi)}{rsin(\theta)} \partial_\phi$$
$$\partial_y = sin(\phi)sin(\theta) \partial_r + \frac{sin(\phi) cos(\theta)}{r}\partial_\theta + \frac{cos(\phi)}{rsin(\theta)}\partial_\phi$$
$$\partial_z = cos(\theta)\partial_r - \frac{sin(\theta)}{r}\partial_\theta$$
Reemplazando las ecuaciones anteriores en las ecuaciones $[1,2,3]$ y teniendo en cuenta las ecuaciones de cambio de coordenadas
entre cartesianas y esféricas es fácil encontrar que:
$$L_x = i \hbar(sin(\phi) \partial_\theta + cot(\theta)cos(\phi)\partial_\phi)$$
$$L_y = i\hbar (-cos(\phi)\partial_\theta + cot(\theta)\sin(\phi)\partial_\phi)$$
$$L_z = -i \hbar \partial_\phi$$
(Castri85)
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Problema propuesto: Ultimando detalles para la formalización de la mecánica cuántica.
Un electrón está confinado a una región del espacio del tamaño de un átomo (0,1 nm).
(a) ¿Cuál es la incertidumbre en la cantidad de movimiento del electrón?
(b) ¿Cuál es la energía cinética de un electrón con un momento igual a $\Delta p$?
(c) ¿Da esto un valor razonable para la energía cinética de un electrón en un átomo?
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