Clase 5:Distribución de Maxwell-Boltzmann & Teoría de Planck

Relatoria:

En esta clase se abordó la distribución de Maxwell-Boltzmann en contexto con el desarrollo de la teoría de radiación de cuerpo negro y el esfuerzo histórico de los físicos europeos de principios del siglo XX por llegar a un modelo de radiación que se ajustara a los espectros observados en la naturaleza, y que resolviera la llamada "catástrofe UV".

El legado de Boltzmann

Ludwig Boltzmann (Viena, 1844 - Trieste, 1906) es a quien se atribuye el trabajo teórico principal de la distribución de Maxwell-Boltzmann (A Maxwell se atribuye el aporte de una distribución de velocidades). Su obra máxima fue el desarrollo de la física estadística, que demuestra el caracter sui-generis (como expresa el profesor Nelson) de su entendimiento e interpretación de la física, que es muy original y diferente respecto a las lineas de pensamiento que se siguen para el desarrollo de otras teorías como la relatividad o la mecánica cuántica. 

El profesor menciona que en el trabajo reciente de reformar los patrones con los que se definen las unidades fundamentales del sistema internacional de unidades la constante de Boltzmann $k_B$ es la utilizada para la definición de la unidad de temperatura Kelvin (K).

Se recomienda leer y conocer más sobre la vida y obra de Boltzmann, que impactó aspectos fundamentales de la física moderna.$^1$

La distribución de probabilidad de Boltzmann

Para construir la distribución de Boltzmann partamos de un experimento:

 Supongamos una caja que contiene  N partículas que se distribuyen de manera homogénea  y se encuentran en equilibrio termodinámico, estas chocan aleatoriamente unas con otras. Todas las partículas tienen iguales propiedades lo que conlleva a todas interactúen e influyan en el comportamiento de las demás, de modo que podemos monitorear el cambio en la energía de una de las partículas en el tiempo y la misma homogeneidad hace que ver el estado de la partícula en $N$ instantes de tiempo sea indistinguible de un solo instante de tiempo observar la energía de $N$ partículas. Tenemos también entonces que un sistema de $N$ partículas tendrá una energía total $E$, que deberá conservarse en el tiempo. La siguiente gráfica muestra un modelo numérico de la situación propuesta pero tomando nota de las velocidades de las partículas en cada momento, pero la idea es análoga con el experimento propuesto.

En este escenario nos podemos preguntar: ¿Cuántas de las $N$ partículas tienen un valor de energía entre $E_o$ y $E_o + \Delta E$? Saber esto implica conocer la distribución de $P(E_o < E < E_o+\Delta E)$. Para aproximarnos a la respuesta el libro de Eisberg nos propone un ejemplo más manejable: supongamos que en la caja tenemos solo 4 partículas, que el valor de energía en cada una está restringido a los valores $0$, $\Delta E$, $2\Delta E$, $3\Delta E$, ... (En este caso $E_o=0$) y que la energía total del sistema es $3\Delta E$. Así podemos mirar cuántas configuraciones posibles hay para distribuir la energía entre las partículas y las formas distintas en que se puede obtener cada configuración. Así Eisberg nos propone el siguiente esquema, donde ponemos cada configuración posible como valores de $i$ y cada configuración tiene 5 compartimientos donde vamos a representar cuantas partículas pueden tener ese valor de energía en cada caso:

Vemos entonces que una primera configuración ($i=1$) que cumple con las condiciones del problema es tener 3 partículas con $E=0$ y una con $E=3\Delta E$, y esta configuración podría repetirse de 4 formas, considerando que cualquiera de las 4 partículas puede ser la que tenga dicho valor de energía. Ahora una segunda configuración ($i=2$) puede ser tener una partícula con $E=2\Delta E$, otra con $E=\Delta E$ y las dos restantes con $E=0$, esta configuración podría darse de 12 formas, ya que tenemos 4 formas de que cada una de las partículas tenga $E=2\Delta E$ y por cada una de estas formas quedarían 3 posibles para que haya otra con $E=\Delta E$. Ahora una tercera configuración ($i=3$) sería tener 3 partículas con $E=\Delta E$ y una sola con $E=0$, este caso es análogo al primero por lo que se da de 4 formas posibles. Una breve inspección permite notar que no hay otros casos posibles que no excedan el límite de energía total del sistema o se queden cortos.

Así tenemos entonces un total de 3 configuraciones, pero que pueden darse de 20 formas. Pero en este caso nos interesa responder a la pregunta inicial, de saber como se distribuye la probabilidad de que al tomar una partícula cualquiera esta esté en algún valor de energía sin importar en qué configuración está el sistema como un todo. Para esto podemos ver el acumulado respecto a las verticales del esquema que nos da Eisberg. Veamos cada valor de energía:

Primero si queremos ver la probabilidad de que tomemos una partícula de $E=0$ tenemos que la configuración 1 nos aporta 3 partículas que tienen dicha energía en $4/20$ de los casos, la configuración 2 aporta 2 partículas en $12/20$ y la configuración 3 aporta 1 partícula en $4/20$ de los casos, sumando estos aportes tenemos que:

$$ P(E=0) = 3 \cdot \frac{4}{20} + 2\cdot \frac{12}{20} + 1\cdot \frac{4}{20} = \frac{40}{20}$$

El mismo razonamiento para los demás valores de energía fácilmente nos lleva a:

$$ P(E=\Delta E) = 0 \cdot \frac{4}{20} + 1\cdot \frac{12}{20} + 3\cdot \frac{4}{20} = \frac{24}{20}$$

$$ P(E=2\Delta E) = 0 \cdot \frac{4}{20} + 1\cdot \frac{12}{20} + 0\cdot \frac{4}{20} = \frac{12}{20}$$

$$ P(E=3\Delta E) = 1 \cdot \frac{4}{20} + 0\cdot \frac{12}{20} + 0\cdot \frac{4}{20} = \frac{4}{20}$$

$$ P(E>3\Delta E) =  \frac{0}{20}$$

Esta es una probabilidad sin normalizar, por eso los valores son en algunos casos mayores a 1. De graficar estos valores de probabilidad respecto a los valores de energía se obtiene la gráfica:

También se grafica la linea sólida que representa la función general:

$$ P(E)=A \text{e}^{-E/\epsilon_o} $$

Donde $A$ y $\epsilon_o$ son constantes tomadas con valores particulares en la gráfica para que se ajustara a la dispersión de puntos obtenida.

Ahora para generalizar el problema y responder la pregunta inicial tenemos que pensar en hacer $\Delta E \to 0$ a la vez que hacemos crecer a $N$ haciendo cumplir en todo momento que $N\cdot \Delta E$ permanece constante (al ser la energía total del sistema). Este desarrollo se explica en detalle en el libro de Eisberg (sección 3.7), en la clase simplemente se indicó que puede llegarse entonces así a la distribución de Boltzmann (o a la de Maxwell si se hace el ejercicio respecto a las velocidades):

$$ \boxed{ P(E)= P_0 \text{e}^{-E/k_B T} } $$

La teoría de Planck

Ahora continuando con lo trabajado en la clase anterior se tiene entonces que la energía media de las ondas estacionarias que ocurren dentro de la caja (volviendo al cuerpo negro) tienen una energía media:

$$ \bar{E} = \frac{\int_0^\infty E \cdot P(E) \text{d}E }{\int_0^\infty P(E) \text{d}E} = k_B T $$

Para resolver el problema de la catástrofe UV que se presentaba con el modelo de Rayleigh-Jeans, Planck propuso realizar una discretización del problema, inicialmente como un artificio matemático que simplemente modificaría la expresión obtenida para la fórmula de la radianza espectral. 

La idea de Planck era sumar (en lugar de integrar) y usar una forma de contar la energía que suprimiera las frecuencias altas, y precisamente la forma exponencial negativa de la distribución de Boltzmann sugería que si $E \propto \nu$ a medida que las frecuencias se hacen más altas la distribución tiende a cero. Así que la propuesta es suponer que las paredes no emiten en cualquier frecuencia (debido a la discretización) sino en paquetes de energía específicos, que son proporcionales a las frecuencias admitidas, relacionadas mediante una constante de proporcionalidad $h$:

$$ \Delta E = n h \nu $$

Así Planck propone que las paredes de la caja pueden interpretarse como osciladores que solo pueden emitir o absorber energía en ciertas frecuencias muy específicas, de modo que el cálculo de la energía media cambia así:

$$ \bar{E} = \frac{\sum_{n=0}^\infty E_n \cdot P(E_n) }{\sum_{n=0}^\infty P(E_n)} $$

Reemplazando $E_n=nh\nu$ y $P(E_n)=P_0 \text{e}^{-nh\nu /k_B T}$, llegamos a:

$$ \bar{E} = h\nu \frac{\sum_{n=0}^\infty n \cdot e^{-n\alpha} }{\sum_{n=0}^\infty e^{-n\alpha} } $$

Donde $\alpha=h\nu /k_B T$. Aquí podemos recurrir a la teoría de series infinitas para recordar que la serie geométrica $\sum_{n=0}^{\infty}r^n$ converge a $(1-r)^{-1}$ para $|r|<1$. También de derivar este resultado y multiplicar por $r$ se llega a que $\sum_{n=0}^{\infty}nr^n=r(1-r)^{-2}$. En este caso $r=e^{-\alpha}$ (que es fácil ver que es siempre menor a $1$) y por lo tanto tenemos que:

$$ \bar{E} = \frac{\text{e}^{-\alpha}(1- \text{e}^{-\alpha})^{-2}}{(1- e^{-\alpha})^{-1}} $$

De donde se obtiene al simplificar finalmente:

$$\bar{E}=\frac{h\nu}{e^{h\nu/k_B T}-1}$$

Ahora reemplazando esto en la expresión para $u \text{d}\nu$ que fue problemática en la aproximación de Rayleigh-Jeans obtenemos la famosa fórmula de Planck:

$$ u \text{d}\nu = \frac{8\pi \nu^2}{c^3} \bar{E} \text{d}\nu $$

$$\Rightarrow \boxed{ u \text{d}\nu = \frac{8\pi \nu^3}{c^3} \frac{1}{e^{h\nu/k_B T}-1} \text{d}\nu}$$

Finalmente obteniendo un modelo que se acopló mucho mejor a las observaciones de la radiación de cuerpo negro, además de dar otro punto de apoyo a la hipótesis de la cuantización de la energía, también utilizada para la explicación del efecto fotoeléctrico trabajado en las primeras clases.

Aplicación:

El Fondo Cósmico de Microondas

El fondo cósmico de microondas (CMB) es una forma de radiación electromagnética descubierta en 1965 que llena el universo por completo. Es clave en el modelo del Big Bang caliente, y es la observación más importante que distingue entre el Big Bang y los otros modelos estables del Universo. 

El espectro del CMB es el de un cuerpo negro descrito por la Ley de Planck, con una temperatura máxima cercana a $2.725K$, de acuerdo a la ley de Wien. 

Un cuerpo negro es un objeto opaco, isotérmico y no reflectivo. Incluso aunque la temperatura del universo cambia mientras este evoluciona ($T_{CMB} = T_0(1+z)$ ), el universo parece isotérmico porque el enrojecimiento ($z$) de la radiación hace que el universo distante, aunque esté mas caliente parezca tener exactamente la misma temperatura del universo el día de hoy. 

El modelo original del Big Bang predecía pequeñas anisotropías en la temperatura del CMB que pudieron finalmente ser detectadas por el satélite COBE  (Cosmic Background Explorer) entre 1986 y 1996 y fue estudiado a mayor profundidad por WMAP (Wilkinson Anisotropy Probe)  con lo que se ha podido restringir algunas de las constantes cosmológicas fundamentales, desvelando la composición del universo en un 4% de materia bariónica, un 22% de materia oscura y un 74% de energía oscura. Estas sobre densidades también arrojan indicios sobre la formación de las primeras estructuras a gran escala y la distribución actual de galaxias. 

Ejercicio:

Repita el análisis visto en clase para un sistema de 6 partículas y una energía total $6 \Delta E$, determine las posibles configuraciones del sistema con sus respectivas probabilidades y calcule

• La probabilidad de que tomar una partícula con una energía de $2 \Delta E$
• La probabilidad de que tomar una partícula con una energía de $3 \Delta E$ ó  $4 \Delta E$

Solución por Sofia Idárraga

Referencias bibliográficas

• Eisberg, R. M. Fundamentals of Modern Physics. John Wiley & Sons, Inc. (1961)
• Imagen de Ludwig Boltzmann: By Unknown author - Uni Frankfurt, Public Domain, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=865671
• Animación de la distribución de Maxwell-Boltzmann: By Dswartz4 - Own work, CC BY-SA 4.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=78848788
• Imagen de Max Planck: De Bundesarchiv, Bild 183-R0116-504 / CC-BY-SA 3.0, CC BY-SA 3.0 de, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=5436000