Clase 3: Efecto Compton y radiación de cuerpo negro

Efecto Compton

Retomando el tema de la clase anterior, se continúa con la explicación del efecto Compton. En este efecto, la radiación se dispersa a partir de los electrones que se encuentran débilmente unidos en un material. 

Se supone un fotón con energía $E$ y momento $P$ que incide sobre un electrón en reposo con energía $m_ec^2$ , como se muestra en la figura 1. A partir de la conservación de la energía y del momentum en este sistema, se tienen las ecuaciones:

                                                       $E+m_ec^2=E'+E_e$    (1)

$P=P_e cos \phi + P' cos \theta$    (2)

$0= P' sin \theta-P_{e} \sin \phi$    (3)

reorganizando las expresiones (2) y (3) se obtiene

$P_{e}cos \phi=P - P' cos\theta$    (4)

$P_{e}sin\phi = P' sin\theta$    (5)

Tomando el cuadrado de las expresiones (4) y (5), y sumando ambos términos se sigue que

$(P_e)^2 = (P-P'cos\theta)^2 + (P'sin\theta)^2 = $

$P^2 - 2PP' cos\theta + (P')^2 \cos^2 \theta + (P')^2\sin^2 \theta$

$P_e ^2=  P^2 -2PP'cos\theta + P'^2$    (6)

Por otro lado, se tiene la expresión de la energía relativista para el electrón

$E_e^2=P_e^2c^2+m_e^2c^4$    (7)

sustituyendo (1) y (6) en (7) se tiene la siguiente igualdad

$(E+m_ec^2 - E')^2 = (P^2 -2PP'cos\theta + P'^2)c^2 + m_e^2c^4$

$E^2+2Em_ec^2+ m_e^2c^4- 2EE'-2m_ec^2E' + E'^2= (P^2 -2PP'cos\theta + P'^2)c^2 + m_e^2c^4$

$E^2+2Em_ec^2+ m_e^2c^4- 2EE'-2m_ec^2E' + E'^2=$

$ P^2c^2- 2PP'c^2 cos\theta + P'^2c^2+ m_e^2c^4 $

Teniendo en cuenta que el momento relativista se expresa como $P=E/c$ y sustituyendo en esta última expresión se sigue que

$E^2+2Em_ec^2+ m_e^2c^4- 2EE'-2m_ec^2E' + E'^2=$

$\frac{E^2}{c^2}c^2-2\frac{E}{c}\frac{E'}{c}c^2cos\theta+\frac{E'^2}{c^2}c^2+m_e^2c^4$

$2Em_ec^2-2EE'-2m_ec^2E'=-2EE'cos\theta$

$Em_ec^2-EE'(1-cos\theta)-m_ec^2E'=0$

$m_ec^2(E-E')  = EE'(1-cos\theta)$

$\frac{E-E'}{EE'}= \frac{1}{m_ec^2}(1-cos\theta)$

$\frac{1}{E'}-\frac{1}{E}= \frac{1}{m_ec^2}(1-cos\theta)$

Finalmente, recordando que la energía del fotón se expresa como $E'= \frac{hc}{\lambda'}$, entonces esta última expresión puede escribirse como 

$\lambda '-\lambda =\frac{h}{m_ec}(1-cos\theta)$    (8)

Esta es entonces la ecuación que describe el efecto Compton. En (8) se identifica la llamada longitud de onda de Compton del electrón, con valor

$\frac{h}{m_ec} = 0.002426 nm$

 

Figura 1. Sistema propuesto. Dispersión de un fotón por un electrón [a].

La energía del fotón emitido es menor que la del que llega, y el resto de energía corresponde a la ganada por el electrón. Específicamente, el efecto Compton describe cuál es la longitud de onda resultante de un fotón que colisiona con un electrón libre (o cuasilibre). Si el electrón no es libre, sino que está ligado a un átomo, se puede deducir reemplazando la masa del electrón por la masa del átomo en (8) que el efecto es despreciable y la longitud de onda se mantiene.

Haciendo uso de un montaje como el de Bragg, se puede estudiar la intensidad de cada longitud de onda dependiendo del ángulo de salida de los fotones. De esta manera, se observa un pico de intensidad en $\lambda$ para un ángulo $\theta=0$, y se ven dos máximos de intensidad en $\lambda$ y $\lambda '$ cuando el ángulo es diferente.

Radiación de cuerpo negro

Al calentar objetos hasta cierta temperatura, empiezan a brillar, y se observa que al calentar distintos materiales a una misma temperatura, estos brillan con el mismo color, de donde se deduce que este fenómeno de emisión es independiente del material. Esta radiación se emite en todo el espectro a diferencia de otros fenómenos, por ejemplo, los gases calentados tienen un espectro de emisión en lineas (fig. 2), mientras que este fenómeno tiene un espectro continuo (fig.3).

 

Figura 2. Espectro de emisión del hidrógeno [b].

 

Figura 3. Espectro de emisión de un cuerpo negro [c].

Definiendo $e_f$ como la potencia emitida por un cuerpo por unidad de frecuencia por unidad de área, tenemos que $e_f=J(f,T) A_f$, donde $A_f$ es la fracción de potencia que absorbe el cuerpo por unidad de frecuencia por unidad de área. Un cuerpo negro es un cuerpo que absorbe toda la luz que le llega ($A_f=1$). Por ejemplo, el sol es aproximadamente un cuerpo negro (no refleja luz).

Para hacer un estudio de la radiación emitida por un cuerpo negro podemos considerar una caja con paredes conductoras y con un pequeño agujero por el cual entra luz y también sale luz pero en mucha menor proporción, lo que no afecta las condiciones internas, lo que quiere decir que esta luz que escapa es una buena muestra de la que hay atrapada. Considerando que la caja está en equilibrio termodinámico, el agujero se comporta como un cuerpo negro.

Con este montaje se deducen 2 leyes experimentales:

• La potencia total emitida por unidad de área por el agujero, es proporcional a la cuarta potencia de la temperatura: 

$e_{Total}=\sigma T^4$     (9)

 

donde $\sigma$ es la constante de Stefan-Boltzmann y $e_{Total}=\int_0^{\inf} e_f \,df$

• Ley de desplazamiento de Wien: indica que el producto entre la temperatura y la longitud de onda con potencia máxima es una constante $\lambda_{max} T=2.9 \times 10^{-3} m\,K$.

Un ejemplo de implementación de estas leyes se puede dar con el sol. Analizando la potencia medida desde la tierra o la longitud de onda con mayor intensidad, se halla para cada ley que la temperatura del sol es aproximadamente 5800 K.

Para determinar $e_f=J(f,T)$, se tienen en consideración varias cosas adicionales, alguna de ellas son presentadas en esta clase, y otras se concluyen en la siguiente clase.

Considerando la luz que sale de la caja como un flujo de energía con una densidad volumétrica de energía asociada, hallamos que $J(f,T)=u(f,T) \frac{c}{4}$. Para determinar $u(f,T)$, analicemos una onda electromagnética entre dos paredes conductoras. Esta onda es una onda estacionaria y cumple que $\frac{n\lambda}{2}=L$, donde $n$ es el número de nodos de la onda y $L$ es la distancia entre las paredes. Por lo que,

$\Delta n=2L\left(\frac{1}{\lambda_1}-\frac{1}{\lambda_2}\right)$

$\to N(\lambda)  d\lambda=\frac{2L}{\lambda^2}d\lambda$    (10)

donde $N(\lambda)$ es el número de nodos por unidad de longitud de onda. La ecuación (10) se cumple en el caso unidimensional, para el caso tridimensional tenemos:

$N(\lambda)  d\lambda=\frac{8\pi V}{\lambda^4}d\lambda$

donde V es el volumen de la caja.

Finalmente, la última consideración clásica a tener en cuenta es que la energía promedio de cada onda es $E_{av}=kT$, donde $k$ es la constante de Boltzmann. Por tanto, la contribución de energía total es $E=NkT$. Estas consideraciones se explicarán con más detalle y se tendrán en cuenta en la próxima clase.

Revisado por: Juan Felipe Zapata, Valentina Pérez C.

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Aplicaciones industriales de la radiación de cuerpo negro

La radiación térmica juega un importante papel en la tecnología militar, fundamentalmente en dos aspectos: detección y reconocimiento de señales térmicas, y tecnologías furtivas. Por su bajo coste y ligereza, la localización pasiva por infrarrojos se ha convertido en el estándar de tecnología de guiado de misiles antiaéreos. Estos misiles tienen un detector de radiación térmica que busca señales de temperatura alta (motores de avión) y se dirige automáticamente a ellos. Para engañar a estos misiles se emplean recubrimientos con materiales de emisividad selectiva, que emitan mal en la región espectral correspondiente al máximo de emisión del avión. De esta forma, el avión emite menos radiación y es más probable que su señal térmica quede camuflada entre el ruido atmosférico. La razón de usar materiales con emisividad selectiva y no simplemente emisividad baja para todas las longitudes de onda es que, a grandes alturas, el aire es tan poco denso que los motores se refrigeran mal. Por tanto, es necesario tener una alta emisividad en longitudes de onda ’no sospechosas’ para evitar que se fundan los componentes del propio avión. [d]

Otro caso de relevancia para la industria de la aplicación del fenómeno expuesto es la pirometría, un método de midición de temperatura a partir de métodos ópticos. A nivel práctico, un pirómetro es un instrumento dotado con sensores sensibles a radiación electromagnética que es capaz de entregar información de la temperatura del material en cuestión, conocida su emisividad. Este método de medición es especialmente útil en la industria metalúrgica y metalmecánica, donde se emplean materiales fundidos y es necesario contar con un seguimiento de su temperatura garantizando a su vez la integridad del personal y equipo al realizar las mediciones desde distancias seguras. La pirometría también es útil para medir la temperatura de objetos móviles, o en general de cualquier cuerpo que presente dificultades de manejo.

Referencias 

[a] Modern Physics 3rd ed. Krane. p. 88

[b] Wikimedia Commons. Extraído de: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Emission_spectrum-H.png

[c] Wikimedia Commons. Extraído de: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Black_body.svg

[d] https://iugm.es/wp-content/uploads/2018/05/TECNOLOG%C3%8DA-Y-DEFENSA-MILITAR-definitivo-ok.pdf

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Ejercicio:

Rayos X que tiene una energía de 300KeV experimentan dispersión Compton desde un blanco. Si los rayos dispersados se detectan a 37° respecto a los rayos incidentes, encontrar:

a) El corrimiento de Compton a este ángulo $(\Delta \lambda)$.

b) La energía de los rayos X dispersados.

c) La energía del electrón en retroceso.

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Ejercicio:

Planck se dio cuenta que $h$ era de gran importancia debido a que más que un parámetro de ajuste de curvas, es una medida de todos los fenómenos cuánticos, más aún, Planck sugirió utilizar las constantes universales $h, c, G$ (Constante de Planck, velocidad de la luz y constante gravitacional, respectivamente) para construir unidades "naturales" o universales de longitud, tiempo y masa. Planck razonó que las unidades actuales de estas medidas estaban basadas en el tamaño, movimiento y masa accidentales de nuestro planeta particular, pero que las unidades verdaderamente universales debían basarse en la teoría cuántica, la velocidad de la luz en el vacío y la ley de la gravitación las cuales se cumplen en todo el universo y en cualquier tiempo.

a) Demuestre que las siguientes expresiones poseen dimensiones de longitud, tiempo y masa, además encuentre sus valores numéricos.

• $(\frac{hG}{c^{3}})^{\frac{1}{2}}$
• $(\frac{hG}{c^{5}})^{\frac{1}{2}}$
• $(\frac{hc}{G})^{\frac{1}{2}}$

b) Las cantidades anteriores se denominan longitud de Planck, tiempo de Planck y masa de Planck. ¿Podría especular acerca del significado físico de estas cantidades? 

Referencias: 

• Física Moderna. Raymond A. Serway, Clement J. Moses & Curt A. Moyer. Tercera Edición. Problema 7, Página 102.

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Comentarios Adicionales:

"Como dato curioso, en 1923 fue planteada y desarrollado este problema por Compton, además la ecuación resultante (1) fue verificada pror Bothe y Gerger (1925) y por Bless (1927).

Este experimento generó una confianza mucho mayor en la teoría corpuscular de la luz, debido a que mostraba una interacción uno a uno, aparte de los más de 10 años de trabajo continuo en este campo, de los propuesto por Planck Y Eistein."

- Castri85