Clase #16: representacion de operadores

Dado un operador lineal A en una base $\left | u_{i} \right \rangle o \left | w_{i} \right \rangle$, podemos asociar con el una serie de números definidos por:

$$A_{ij}=\left \langle u_{i}\left | A \right |u_{j} \right \rangle$$

O en una base continua:

$$A_{\alpha \alpha^{'} }=\left \langle w_{\alpha}\left | A \right |w_{\alpha}^{'}\right \rangle$$

Estos números dependen de dos índices y por tanto pueden ser ordenados en una matriz tipo n\times n. Por convención, para el operador en la base $\left | u_{i} \right \rangle$, su representación matricial se escribe como:

$$\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & \cdots  & A_{1j}\\

A_{21}&  A_{22}& \cdots  & A_{2j}\\ 

\vdots &  \vdots&  \vdots& \vdots\\ 

A_{i1}&  A_{i2}&  \cdots & A_{ij} \end{pmatrix}$$

Se puede observar que la $j-esima$ columna se conforma por componentes en la base $\left | u_{i} \right \rangle$  de la transformación $A\left | u_{i} \right \rangle$ del vector de la base $\left | u_{j} \right \rangle$

Representación del ket $\left | \psi ^{'}\right \rangle=A\left | \psi\right \rangle$

Conociendo las componentes de $\left | \psi\right \rangle$ y los elementos de matriz de $A$ en cierta representación, es posible calcular las componentes de en dicha representación.

 En la base $\left | u_{i}\right \rangle$, la coordenada de $c_{i}^{'}$ de $\left | \psi\right \rangle$ está dada por:

$$c_{i} ' =  \langle{u_{i}} | \psi ' \rangle = \langle{u_{i}} |A| \psi \rangle$$

 Aplicando la relación de completez, se obtiene:

 $$c_{i} ' =   \langle{u_{i}} |A \mathbb{I}| \psi \rangle =  \langle{u_{i}} |A P_{u_{j}}| \psi \rangle$$

 $$\sum_{j} \langle{u_{i}} |A| u_{j} \rangle \langle{u_{j}} | \psi \rangle$$

 $$\sum_{j} A_{ij} c_{j}$$

 De la misma manera para una base continua $|w_{\alpha}\rangle$:

 $$c_{\alpha} ' =  \langle{w_{\alpha}} | \psi ' \rangle = \langle{w_{\alpha}} |A| \psi \rangle$$

 $$\int d \alpha '\langle{w_{\alpha}} |A| w_{\alpha '}  \rangle \langle{w_{\alpha '} }|\psi \rangle$$

 $$\int d \alpha ' A(\alpha , \alpha ') c(\alpha ')$$

 

 Expresión para el número $\langle{\phi} |A| \psi \rangle$

 Al insertar la relación de completez entre $\langle{\phi}|$ y $A$ y nuevamente entre $A$ y $ | \psi \rangle $, se obtiene:

 $$ \langle{\phi} |A| \psi \rangle =   \langle{\phi} |P_{u_{i}}AP_{u_{j}}| \psi \rangle$$

 $$ \sum_{i,j} b^{*}_{i} A_{ij} c_{j}$$

 Y de manera análoga para la base continua:

 $$ \langle{\phi} |A| \psi \rangle =   \langle{\phi} |P_{w_{\alpha}}AP_{w_{\alpha '}}| \psi \rangle$$

 $$ \int \int d \alpha d \alpha '  b^{*}(\alpha) A(\alpha , \alpha ') c(\alpha ')$$