# Clase 17 Algebra de los operadores

Álgebra de operadores 

Cuando se habla del álgebra de operadores, se hace referencia a como se comportan los conmutadores de estos. La importancia de este análisis recae en que permite establecer cual es el conjunto completo de los observables que conmutan y por lo tanto cuales son los autovalores que son importantes para estudiar un sistema. Estos autovalores suelen llamarse números cuánticos. 

Para esto se han de tener presentes algunas de las propiedades de los conmutadores:

• $[A,B]=-[B,A]$
• $[A,\alpha B+C]=\alpha[A,B]+[A,C]$
• $[A,BC]=[A,B]C+B[A,C]$
• $[A,B]^{\dagger}=[A^{\dagger},B^{\dagger}]$

También se tiene la identidad de Jacobi: $$[A,[B,C]]+[C,[A,B]]+[B,[C,A]]=0$$

Con los operadores se pueden construir funciones como "polinomios" y funciones exponenciales mediante expansiones de Taylor. Por ejemplo para un operador $A$ se puede escribir: 

$$P(A)=a_nA^n+a_{n-1}A^{n-1}+...+a_0$$

$$f(A)=e^A=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{A^n}{n!}=I+A+\frac{A^2}{2!}+...$$

Si $e^A$ se dejara actuar sobre un vector $| \varphi \rangle$ se obtendría:

 $$e^A| \varphi \rangle=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{A^n}{n!}| \varphi \rangle=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a^n}{n!}| \varphi \rangle=e^a| \varphi \rangle$$

Donde $a$ sería un autovalor del operador $A$. 

También pueden realizarse aproximaciones mediante estas expansiones, por ejemplo para un $\lambda \leqslant 1$  se puede tener una aproximación del tipo: 

$$e^{\lambda A}\approx I + \lambda A$$

Un punto importante a tener en cuenta es que si $[A+B]\neq 0$, entonces $ e^A e^B\neq e^{A+B}$. puesto que en la multiplicación de operadores el orden es relevante. 

En la mecánica cuántica los operadores pueden depender de algún parámetro, generalmente este parámetro es el tiempo. Entonces para un operador $A(t)$ es posible seguir utilizando la definición tradicional de la derivada temporal tal que $\dot A=\frac{dA}{dt}$. Esta derivación con respecto a $t$ es distinta por ejemplo a la derivada parcial con respecto al tiempo pues mientras $t$ es un parámetro $\frac{\partial}{\partial x}$ es un operador.

Dentro de la mecánica cuántica se toma a $t$ como un parámetro no relativista, esto quiere decir que se trabaja en un espacio $\mathbb{R}^3+\mathbb{R}$, donde $ \mathbb{R}^3$ hace referencia a las coordenadas espaciales y  $\mathbb{R}$ hace referencia al tiempo que se toma como un parámetro escalar y que no tiene efectos relativistas, es decir, no se mezcla con las coordenadas espaciales. 

Postulados de la mecánica cuántica 

La mecánica cuántica toma elementos de la mecánica clásica como el Hamiltoniano, el Lagrangiano y la teoría de Jacobi. A partir de ellas se construye una teoría adaptada a la cuántica

1. Primer postulado

En un tiempo $t_o$ el estado de un sistema está definido por un ket $| \varphi (t_o) \rangle$  $\epsilon$ $\varepsilon$, donde  $\varepsilon$ es un espacio de estados.

2. Segundo postulado

 Cada cantidad física medible $\mathbb{A}$, es descrita por un operador $A$ en $\varepsilon$, $A$  es un observable. Es decir, existe un relación entre medible y ser un observable, recordando que un     observable es un operador hermítico con raíces reales. Las cantidades físicas determinan las bases de $\varepsilon$ que se van a usar, puesto que los operadores relacionados a ellas dan una base completa para $\varepsilon$. Por ejemplo el la posición $x$ está relacionada con el operador $\chi$ que a su vez está relacionado con la base $\xi _{r_o}(r)\to | r_o \rangle$.

3. Tercer postulado

El único posible resultado de la medida de una cantidad física $\mathbb{A}$ es uno de los autovalores de su observable asociado $A$. De esta manera, cada vez que se hace la medida de una cantidad física, se obtendrá uno de los autovalores del operador, que como se vio previamente son reales. Entonces si se tiene un sistema $\varphi$ y se está midiendo una cantidad física $\mathbb{A}$ asociada a un operador $A$, se va a obtener el valor real $a$ tal que $$A|\varphi\rangle=a|\varphi\rangle$$.

Si se realizaran dos medidas en un sistema con exactamente la misma configuración, se pueden obtener valores diferentes $a$ y $a'$, sin embargo estos van a ser autovalores del operador asociado a la cantidad medida. 

4.Cuarto postulado: Descomposición espectral 

Un operador determina una base en el espacio de estados $A\to | u_i\rangle$, de modo que un estado $|\varphi\rangle$ puede ser escrito como la combinación lineal de esta base $|\varphi\rangle=\sum C_i |u_i\rangle$.

Si tenemos el operador $A$ actuando sobre elementos de la base se tendría $$A| u_i\rangle=a_i| u_i\rangle$$

 De este modo $A$ actuando sobre un estado  $|\varphi\rangle$ sería: $$A|\varphi\rangle=\sum C_i A|u_i\rangle$$ $$A|\varphi\rangle=\sum C_i a_i|u_i\rangle$$

Los coeficientes $C_i$ están relacionados con la probabilidad de obtener un autovalor al hacer una medida. La probabilidad de obtener uno de los autovalores está dada por: 

$$P(a_n)=|\langle u_n|\varphi \rangle|^2$$

EJERCICIO 1 

Muestre que:

a) el determinante de un operador permanece invariante bajo transformaciones de similaridad.

b) un operador hermítico permanece hermítico bajo una transformación de similaridad unitaria.

Propuesto por: Valentina Pérez Cadavid.

Solución.

Sean $ \hat{T} $ y $\hat {\tilde{T}}$ operadores tales que $ \hat{T}  = A\hat {\tilde{T}}A^{-1}$ (transformación de similaridad)

a) Se tiene que det( $ \hat{T} $ ) = det($ A\hat {\tilde{T}}A^{-1} $). 

Por un resultado del álgebra lineal sabemos que det( $ AB $ ) = det( $BA $ ), así se tiene que

 det( $ \hat{T} $ ) = det($ A\hat {\tilde{T}}A^{-1} $) =  det($A^{-1} A\hat {\tilde{T}} $)  = det($\hat {\tilde{T}}$)

Así el determinante de  $ \hat{T} $ permanece invariante bajo transformaciones de similaridad.

b) Sea  $ \hat{T} $ un operador hermitico, es decir $ \hat{T} = \hat{T}^{\dagger} $ y que transforma como  $ \hat{T}  = S\hat {\tilde{T}}S^{\dagger}$ (S es unitaria).

Entonces como  $ \hat{T} $ es hermitico,  $ \hat{T} ^{\dagger} = (S\hat {\tilde{T}}S^{\dagger})^{\dagger}$, por resultado del álgreba lineal tenemos que  $ (AB)^T = A^TB^T $, así

$ \hat{T} ^{\dagger} = (S\hat {\tilde{T}}S^{\dagger})^{\dagger} $

$ \hat{T} ^{\dagger} =S(S\hat{\tilde{T}})^{\dagger} = S \hat{\tilde{T}}^{\dagger}S^{\dagger}$ 

Teniendo en cuenta que $ \hat{T} $ es hermitico, se sigue que

$ \hat{T} ^{\dagger} = \hat{T} =  S\hat {\tilde{T}}S^{\dagger} = S \hat{\tilde{T}}^{\dagger}S^{\dagger} $

Como S es unitaria, entonces

$ S^{\dagger}S\hat {\tilde{T}}S^{\dagger}S =S^{\dagger}S \hat{\tilde{T}}^{\dagger}S^{\dagger} S$

Así $\hat {\tilde{T}} = {\tilde{T}}^{\dagger}$