Clase 20: Álgebra de operadores, Varianza de un observador y primeros postulados

 

Álgebra de operadores:

 

$i).$ Sea la matriz $\sigma_{2}$ dada por:

$\sigma_{2} = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i  & 0\end{pmatrix}$ 

Mostrar que: 

$$e^{-i\phi\sigma_{2}} = cos\phi \mathbb{I}_{2 \times 2} - i \sin \theta \cdot \sigma_{2}$$

$ii).$ Mostrar que si $[A,B] = 0$, entonces:

$$e^{A}e^{B} = e^{B}e^{A} = e^{A+B}$$

Solución:

En general, la expasión de Taylor de la función exponencial se puede escribir como

$$ e^{x} = \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!} $$

Luego, podemos proponer

$$e^{-i\phi\sigma_{2}} = \mathbb{I} + i\sigma_{2}(-\phi) + i^{2}\frac{\sigma_{2}^{2}}{2!}(-\phi)^{2} + i^{3}\frac{\sigma_{2}^{3}}{3!}(-\phi)^{3} +  i^{4}\frac{\sigma_{2}^{4}}{4!}(-\phi)^{4} + ... $$

Podemos reacomodar la expresión en una parte real y otra imaginaria

$$e^{-i\phi\sigma_{2}} = [\mathbb{I} - i^{2}\frac{\sigma_{2}^{2}}{2!}(-\phi)^{2} +  i^{4}\frac{\sigma_{2}^{4}}{4!}(-\phi)^{4} + ... ] + i[i\sigma_{2}(-\phi) - i^{3}\frac{\sigma_{2}^{3}}{3!}(-\phi)^{3} + ...]$$

 Podemos reconocer en la parte real la expansión en series de Taylor de la función coseno y en la parte imaginaria la expansión de la función seno, sacando un signo - por la paridad de la función. Así, reescribiendo

$$ e^{-i\phi\sigma_{2}} =  \mathbb{I}cos\phi - i\sigma_{2}sin\phi $$

2)

$$ e^{A}e^{B} = \sum \frac{A^{n}}{n!}\sum\frac{B^{n}}{n!} $$

$$\sum_{m=0}^{\infty} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{A^{m}B^{n}}{m!n!}$$

A partir de esta expresión es evidente que si $AB = BA$ luego $e^{A}e^{B} = e^{B}e^{A}$

Haciendo $l=m+n$ como consecuencia de que $[A,B] = 0$

$$\sum_{l=0}^{\infty} \sum_{m=0}^{l}\frac{A^{m}B^{l-m}}{m!(l-m)!}$$

$$\sum_{l=0}^{\infty}\frac{1}{l!}\sum_{m=0}^{l} \frac{l!}{m!(l-m)!}A^{m}B^{l-m}$$

$$\sum_{l=0}^{\infty} \frac{(A+B)^{l}}{l!}$$

$$e^{A+B}$$

Varianza de un observable cuántico:

La varianza de un observable cuántico $A$ se define como:

$$ (\Delta A)^2 = \langle (A-\langle A \rangle)^2 \rangle _\psi $$

Demostrar que esta definición lleva a la forma usada convencionalmente para la varianza de $A$:

$$ Var(A) =  \langle A^2 \rangle - \langle A \rangle^2$$

Basado en los contenidos de Cohen-Tanoudji, Diu, Laloë. "Quantum Mechanics Vol. 1", 2 ed. (2019).

 

Solución:

 

Para cada medida, se toma la diferencia entre el valor obtenido y $\langle A \rangle$ 

$\langle A - \langle A \rangle \rangle= \langle A \rangle - \langle A \rangle = 0$

Por la propia definición de $\langle A \rangle$, el promedio de las desviaciones negativas equilibra exactamente el promedio de las positivas.

Para evitar esta compensación, basta con definir $\Delta A$ tal que $(\Delta A)^2$ es la media de los cuadrados de las desviaciones. 

Por definición: 

$\Delta A = \sqrt{\langle (A - \langle A \rangle)^2 \rangle}$

Usando la expresión para el valor medio tenemos: 

$\Delta A = \sqrt{\langle \psi | (A - \langle A \rangle)^2| \psi \rangle}$

Esta relación también se puede escribir de una manera ligeramente diferente de la siguiente manera: 

$\langle( A - \langle A \rangle)^2\rangle = \langle( A^2 - 2 \langle A \rangle A + \langle A \rangle^2)\rangle$

$= \langle A^2 \rangle - 2\langle A \rangle^2 + \langle A \rangle ^2$

$=\langle A^2 \rangle - \langle A \rangle ^2$

Por lo tanto, la desviación de la raíz cuadrada media $\Delta A$ se puede escribir como: 

$\Delta A = \sqrt{ \langle A^2 \rangle -  \langle A\rangle^2}$

 

 

Primeros tres postulados de la Mecánica Cuántica:

 

La descripción clásica de un sistema físico se puede resumir como:

1) El estado de un sistema en un tiempo $t_0$ se define especificando las N coordenadas generalizadas $q_i$ y sus N momentos conjugados $p_i$.

2) El valor, en un tiempo dado, de las cantidades físicas está completamente determinado cuando el estado del sistema en este instante es conocido. Sabiendo el estado del sistema, se puede predecir con certeza el resultado de cualquier medida realizada en un tiempo $t_0$.

3) La evolución temporal del estado de un sistema está dada por la ecuación de Hamilton-Jacobi.

Por otro lado, los postulados de la mecánica cuántica sientan las bases para describir los fenómenos físicos en escalas muy pequeñas. Mediante los postulados se puede describir matemáticamente el estado de un sistema cuántico en un tiempo dado; Cómo se puede predecir los resultados de una medida de varias cantidades físicas; Y cómo se puede encontrar el estado del sistema cuántico en un tiempo arbitrario $t$ conociendo el estado del sistema en el tiempo $t_0$. Es por esto que los postulados se aplican de manera general a la descripción de cualquier sistema cuántico.

 

Clases unificadas pasadas por Manuela Mesa Sánchez