Clase 23 - Oscilador armónico unidimensional

Oscilador armónico unidimensional

 Al estudiar el comportamiento de un oscilador armónico clásico, vemos que una gran cantidad de fenómenos físicos están relacionados a este fenómeno debido a la forma del potencial que  $V(x)=k x^{2}$ esto de un modo u otro nos habla de que el potencial es de tipo parabólico y una manera de verlo es al hacer la expansión de $V(x)$ en serie de Taylor, (bajo la premisa de que la función es diferenciable) alrededor de un ponto en particular $x_{0}$:

$$ V(x)=V(x_0)+(x-x_0)\frac{\mathrm{d}V(x)}{\mathrm{d}x} \mid_{x=x_0}+(x-x_0)^2 \frac{\mathrm{d^2} V(x)}{\mathrm{d}x} \mid_{x=x_{0}}$$

$$+(x-x_0)^{3}\frac{\mathrm{d^3} V(x)}{\mathrm{d} x} \mid_{x=x_0}+...$$ 

Figura 1. Representación típica de potencial que rige un oscilador armónico

Al estar muy cerca del punto sobre el cual hacemos la expansión, que además es un mínimo de $V(x)$, se tiene que $\frac{\mathrm{d} V(x)}{\mathrm{d} x}$ y que $(x-x_{0})<1$ luego $(x-x_{0})^{2}<<1$ y así  sucesivamente, por lo que podemos despreciar los términos mayores a orden dos y obtenemos la siguiente expresión del potencial: 

$$ V(x)=kx^{2} \rightarrow k= \frac{\mathrm{d^{2}} V(x)}{\mathrm{d} x^{2}} \mid_{x=x_0} $$

Sea m la masa de la partícula, se define entonces $w^{2}=k/m$; para separarnos de las variables físicas del problema ligadas a las fuerzas y obtener información acerca de la frecuencia asociada a la energía $E=h*\nu $, un parámetro que es de mayor importancia en el oscilador cuántico.

Ahora, para centrarnos en el caso en cuestión, estudiemos la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo con $V(x)=\frac{1}{2}m w^2x^2$ obtenemos:

$$ -\frac{h^{2}}{2m}\frac{\mathrm{d^{2}} \psi}     {\mathrm{d}x^{2}}+\frac{1}{2}m w^2x^2\psi =E\psi  \; \; \; \; \; \; \; \; (1) $$

Si escogemos $    y=\sqrt{\frac{m w}{h}}x $ la ecuación queda como 

 $$ \frac{\mathrm{d^{2}} \psi}{\mathrm{d} x^{2}} +\left ( \frac{2E}{\hbar w} - y^2 \right  )\psi=0 $$ 

Si estudiamos las condiciones físicas que debe cumplir esta función observamos que cuando $y \rightarrow \infty$ la ecuación diferencial diverge, como también $y^2>>\frac{2E}{\hbar w}$, es importante anotar que esta última relación no tiene unidades, lo que facilita identificar que tipo de funciones pueden estar asociadas a la solución.

$$  \frac{\mathrm{d^{2}} \psi}{\mathrm{d} x^{2}}-y^2\psi=0  (4) $$ 

Luego se propone una solución de la forma 

$$\psi = e^{-\frac{y^2}{2}}v(y) \; \; \; \; \; \; \; \; (2) $$ 

Si remplazamos (2) en la ecuación diferencial (1) obtenemos

 $$   e^{-y^2}\left( \frac{\mathrm{d^{2}} v(y)}{\mathrm{d} y^{2}}-2y\frac{\mathrm{d} v(y)}{\mathrm{d} y} +\left ( \frac{2E}{\hbar w} - 1 \right  ) v(y) \right  )=0 $$ 

Luego buscaremos encontrar la solución a la EDO entre paréntesis, solución que será continua, con derivadas continuas y que no diverja en el infinito. Estas soluciones serán los polinomios de Hermite, los cuales están dado por la siguiente función generatriz:

$$    g(x,t)= e^{-t^2+2t x}=\sum_{n=0}^{^\infty}H_{n}(x)\frac{t^n}{n!} $$

Para buscar ciertas relaciones de recurrencia que son bastantes útiles a la hora de realizar integraciones y entender el comportamiento de estos polinomios, se realizan algunas derivadas.

$$    \frac{\partial g(x,t) }{\partial x} = 2\sum_{n=0}^{\infty} H_{n}(x)\frac{t^{n+1}}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty}{H_{n+1}'}(x)\frac{t^{n+1}}{(n+1)!} $$ 

Lo cual se observa fácilmente es igual a

   $$  2n H_{n-1}(x)={H_{n}'}(x)   \; \; \; \; \; \; \; \;  (3) $$ 

Expresión que relaciona la derivada del polinomio de Hermite con el polinomio anterior a él.

Ahora, realizando un proceso similar, pero esta vez con la derivada parcial respecto a t se obtiene

  $$ H_{n+1}(x)-2x H_{n}(x)+{H'}(x)=0  \; \; \; \; \; \; \; \; (4) $$ 

Si derivamos (4) y luego remplazamos (3), obtenemos:

$$    {H_n''}(x)-2x {H_n'}(x)+2n H_n(x)=0   \; \; \; \; \; \; \; \; (5) $$ 

 Y si recordamos la ecuación con la que iniciamos

 $$    \frac{\mathrm{d^{2}} v(y)}{\mathrm{d} y^{2}}-2y\frac{\mathrm{d} v(y)}{\mathrm{d} y} +\left ( \frac{2E}{\hbar w} - 1 \right  ) v(y)=0   \; \; \; \; \; \; \; \; (6)  $$  

Al comparar (5) y (6) se encuentra que son la misma ecuación si y solo si $2n=\frac{2E}{\hbar w}-1$, igualdad que nos lleva a confirmar un detalle de gran importancia para la mecánica cuántica y es que la energía está cuantizada.

    $$ E=\left(n+\frac{1}{2}\right) \hbar w    $$

 Podemos ver entonces que la solución general a la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo viene dada por:

    $$ \psi_n(y)=C_n e^{-\frac{y^2}{2}} H_n(y)$$

 Donde C_n es una constante de normalización igual a $C_{n}=\sqrt{\frac{1}{2^n n!}}$

 Una solución en general va a ser una superposición lineal de las $\psi_n(y) \rightarrow \psi(y)=\sum_n C_n \psi_n(y)$, donde las $\psi_n$ son auto funciones del operador $\hat{H}$ y esta es otra gran diferencia entre el oscilador mecánico y el oscilador cuántico:

 Hamiltoniano clásico:

    $$ H=\frac{P^2}{2m}+V(x)$$

  Hamiltoniano cuántico:

    $$  \hat{H}\psi_n= E_n \psi_n  $$

 Cuando examinamos los autovalores asociados a las auto funciones dadas por el operador hamiltoniano observamos que si la función está en un solo autoestado, entonces $\Delta E_n = 0$, por lo que se concluye que se presenta oscilación únicamente si hay más de un estado.

Editado por: Juan Pablo Ortiz Gil

 

 Ejercicio Clase 23 - 2 Septiembre

1) Partiendo de la siguiente definición:

$$H_n(x)=(-1)^ne^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}$$

Hallar los primeros 5 polinomios de Hermite, $H_0(x)$, ... , $H_4(x)$

2) Partiendo de la siguiente relación de los polinomios de Hermite:

$$e^{-t^2+2tx}=\sum_{n=0}^{\infty}H_n(x)\frac{t^n}{n!}$$

Demostrar que se cumple la siguiente ecuación diferencial:

$$\frac{d^2}{dx^2}H_n(x)-2x\frac{d}{dx}H_n(x)+2nH_n(x)=0$$

Solución presentada por Sergio Castrillón, ya que no ví el ejercicio de la clase 22