Clase 26: Introducción al momento angular en cuántica

 

Momento angular

El operador momento angular es uno de los operadores más importantes en la mecánica cuántica, ya que juega un papel muy importante en la teoría atómica y en la estudio de las moléculas, y algunos otros sistemas que tengan simetría rotacional. Hay diferentes tipos de operadores que representen el momento angular como por ejemplo: el operador momento angular orbital denotado por $L$, el momento angular de spin denotado por $S$ y se denota usualmente al momento angular total por $J$. 

Consideremos un eje cuyo vector director unitario es $\hat{n}$, y un vector posición $\vec{r}$ tal que  $\hat{n}$ y $\vec{r}$ parten del mismo origen. Sea $\vec{r'}$ el vector $\vec{r}$ después de realizar una rotación  de un ángulo infinitesimal $\delta \phi$ alrededor del eje definido por $\hat{n}$. Entonces, el vector  $\vec{r'}$ se puede expresar de la siguiente manera:

$$ \vec{r'}=\vec{r}+\delta \phi (\hat{n} \times \vec{r})=\vec{r}+\vec{\delta \phi}  \times \vec{r}$$

Dado un campo escalar $f(\vec{r'})=f(\vec{r}+\vec{\delta \phi}  \times \vec{r})$ se puede expandir realizando aproximación de orden uno en la serie de Taylor como: 

$$f(\vec{r}+\vec{\delta \phi}  \times \vec{r})  \approx f(\vec{r})+(\vec{\delta \phi} \times \vec{r}) \cdot \vec{\nabla}f(\vec{r}) \\ =f(\vec{r})+\vec{\delta \phi} \cdot ( \vec{r} \times  \vec{\nabla})  f(\vec{r}) \\=[\hat{1}+\vec{\delta \phi} \cdot ( \vec{r} \times  \vec{\nabla}) ] f(\vec{r}) \\ \approx e^{\vec{\delta \phi} \cdot (\vec{r} \times \vec{\nabla})} f(\vec{r}) \\= e^{\vec{\delta \phi} \cdot \frac{i}{\hbar}\left[\vec{r} \times  \left (-i \hbar \vec{\nabla} \right)\right ]} f(\vec{r}) \\=e^{\vec{\delta \phi} \cdot \frac{i}{\hbar}\left(\vec{r} \times \vec{p}\right )} f(\vec{r}) \\= e^{\frac{i}{\hbar}\vec{\delta \phi} \cdot   \vec{L}} f(\vec{r}) $$

De lo anterior se puede decir que  $\vec{L}$ es un operador (vectorial) diferencial  que genera una rotación y por esto a este operador vectorial se le denomina comúnmente como generador de rotaciones. 

$$\vec{\hat{L}}=-i\hbar (\vec{r} \times \vec{\nabla})=\vec{r} \times \vec{p}$$

En coordenadas cartesianas:

$$\vec{\hat{L}}=\begin{bmatrix}  \hat{L}_x \\  \hat{L}_y \\   \hat{L}_z\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}   \hat{y} \hat{p}_z- \hat{z}  \hat{p}_y \\   \hat{z} \hat{p}_x- \hat{x}  \hat{p}_z\\    \hat{x} \hat{p}_y- \hat{y}  \hat{p}_x \end{bmatrix}$$

A partir de la ecuación anterior y realizando los siguientes cambios en la notación: $x \rightarrow 1$, $y \rightarrow 2$,  $z \rightarrow 3$, denotando las componentes de $\vec{r}$ como $q_\mu$ tal que  el  subíndice pueda tomar valores entre 1 y 3, es decir, $q_1=x$,  $q_2=y$, $q_3=z$  se tienen las siguientes expresiones: 

• $[q_j,p_k]=i\hbar \delta_{ik}$
• $[q_j,q_k]=[p_j,p_k]=0$
• $[L_j,L_k]=i \hbar \epsilon_{jkr} L_r$                                 (1)

Las expresiones anteriores, suelen ser utilizadas con frencuencia. Cualquier operador que cumpla con esta ultima relación se dice que cumple con el álgebra del momento angular. 

Demostremos de la Ec. (1) un caso específico, veamos por ejemplo que $[L_x, L_y] = i \hbar L_z$. Si se utiliza la siguiente relación de conmutadores $[AB,CD] = A[B,C]D + [A,C]BD + CA[B,D] + C[A,D]B$ se tiene: 

$$[L_x, L_y] = [\hat{y}\hat{p_z} - \hat{z}\hat{p_y}, \hat{z}\hat{p_x} - \hat{x}\hat{p_z}] \\ = [\hat{y}\hat{p_z}, \hat{z}\hat{p_x}] + [\hat{z}\hat{p_y}, \hat{x}\hat{p_z}] \\ = \hat{y}[\hat{p_z},\hat{z}]\hat{p_x} + \hat{x}[\hat{z},\hat{p_z}]\hat{p_y} \\ = -i\hbar \hat{y}\hat{p_x} + i\hbar \hat{x} \hat{p_y} \\ = i\hbar L_z $$

 

Momento angular total

Una generalización del operador momento angular $\vec{\hat{L}}$ es el operador momento angular total $\vec{\hat{J}}$ que de forma rigurosa se define como: 

$$\vec{\hat{J}}=\vec{\hat{L}} \otimes \vec{\hat{I}}+\vec{\hat{I}} \otimes \vec{\hat{S}}  $$

Este operador cumple con el álgebra del momento angular, $\vec{\hat{S}} $ es el operador vectorial espín.

Considerando la siguiente expresión

$$J^{2}=\vec{\hat{J}}^{2}=J_x^{2}+J_y^{2}+J_z^{2}=J_1^{2}+J_2^{2}+J_3^{2}$$

Se puede escribir la siguiente relación:

• $[J^{2},J_k]=0$

Tomemos $k=1$ que representa a la componente $x$ y mostremos que da cero, para los otros dos casos es análogo. 

$$[J^{2},J_x]=[J_x^{2}+ J_y^{2}+J_z^{2}, J_x]=[J_x^{2},J_x]+[J_y^{2},J_x]+[J_z^{2},J_x]\\ =J_y [J_y,J_x]+[J_y,J_x]J_y+J_z[J_z,J_x]+[J_z,J_x]J_z \\=i \hbar (L_yL_z+L_zL_y)-i\hbar(L_yL_z+L_zL_y)=0$$

Si se supone que $J^{2}$ es un observable, entonces a partir de la expresión anterior se concluye que tiene los mismo autoestados que $J_1,J_2,J_3$; sin embargo como los $J_k$ no conmutan entre sí, se dice que no compatibles y por esto no comparten autoestados. 

Operadores escalera

Hasta ahora sólo se ha trabajado con las componentes cartesianas (observables) de $J$, es conveniente definir  otros operadores $J_{\pm}$ (no observables) llamados operadores escalera: 

$$\hat{J}_{+}=\hat{J}_x+i\hat{J}_y$$

$$\hat{J}_{-}=\hat{J}_x-i\hat{J}_y$$

Debido a la hermiticidad de los operadores $\hat{L}_x$ y $\hat{L}_y$ es fácil mostrar que se cumplen las siguientes dos ecuaciones 

$$\hat{J}_{+}^{\dagger}=\hat{J}_{-}$$

$$\hat{J}_{-}^{\dagger}=\hat{J}_{+}$$

Algunas relaciones de conmutación son:

• $[\hat{J}_+,\hat{J}_-]=2 \hbar \hat{J}_z$
• $[\hat{J}_z,\hat{J}_+]= \hbar \hat{J}_+$
• $[\hat{J}_z,\hat{J}_-]= -\hbar \hat{J}_-$
• $[\hat{J}^{2},\hat{J}_+]=[\hat{J}^{2},\hat{J}_-]=0$

Con las relaciones anteriores, se puede verificar fácilmente las siguientes expresiones: 

$$\hat{J}^{2}=\hat{J}_+\hat{J}_-+\hat{J}_z^{2}-\hbar \hat{J}_z$$

$$\hat{J}^{2}=\hat{J}_-\hat{J}_++\hat{J}_z^{2}+\hbar \hat{J}_z$$

$$\hat{J}^{2}=\frac{1}{2}(\hat{J}_+\hat{J}_-+\hat{J}_-\hat{J}_+)+ \hat{J}_z^{2}$$

 

Ejercicio

Demuestre, a partir de la definición $\hat{L} = \hat{r} × \hat{p}$, que los operadores de momento angular $\hat{L_i}\  , i = 1, 2, 3$ son hermitianos.

Problema sacado del libro Problemas y Ejercicios de Mecánica Cuántica de Peña y Villavicencio.