Clase 28 - 02 AGOSTO
Autovalores del momento angular
Para un ket $|\psi \rangle$ los elementos de matriz $\langle\psi|\hat{J}^2|\psi\rangle$ son positivos o cero.
$$\langle\psi|\hat{J}^2|\psi\rangle=\langle\psi|\hat{J_x}^2|\psi\rangle+\langle\psi|\hat{J_y}^2|\psi\rangle+\langle\psi|\hat{J_z}^2|\psi\rangle=||\hat{J_x}|\psi\rangle||^2+||\hat{J_y}|\psi\rangle||^2+||\hat{J_z}|\psi\rangle||^2 \geq 0$$
Entonces los autovalores de $\hat{J}^2$ son mayores o iguales a cero.
Vamos a suponer que $\hat{J}^2|\psi\rangle$ tiene una ecuación de autovalores para este estado.
$$\hat{J}^2|\psi\rangle=autovalor|\psi\rangle$$
Supongamos que $autovalor=\hbar j (j+1)$, entonces:
$$\hat{J}^2|\psi\rangle=\hbar^2 j (j+1)|\psi\rangle$$
Luego los autovalores de $\hat{J}^2$ son $\hbar^2 j (j+1)$ y por convención $j\geq 0$
Para $\hat{J_z}$ se plantea de igual forma, donde la ecuación de autovalores es:
$$\hat{J_z}|\psi\rangle=\hbar m|\psi\rangle$$
Con $m\in\mathbb{R}$
Notación
$$|\psi\rangle=|k,j,m\rangle$$
Donde el valor $k$ todavia no sabemos nada de él, y las ecuaciones de autovalores nos quedan entonces de la forma:
$$\hat{J}^2|k,j,m\rangle=\hbar^2 j (j+1)|k,j,m\rangle$$
$$\hat{J_z}|k,j,m\rangle=\hbar m|k,j,m\rangle$$
Con $j\geq 0$ y $m\in\mathbb{R}$
Vamos a mostrar que se cumple la siguiente desigualdad $-j\leq m\leq j$
Recordando que $(\hat{J_+})^{\dagger}=\hat{J_-}$ partimos de las siguientes relaciones:
$$||\hat{J_+}|k,j,m\rangle||^2=\langle k,j,m|\hat{J_-}\hat{J_+}|k,j,m\rangle \geq 0$$
$$||\hat{J_-}|k,j,m\rangle||^2=\langle k,j,m|\hat{J_+}\hat{J_-}|k,j,m\rangle \geq 0$$
$$\langle k,j,m|\hat{J}^2-\hat{J_z}^2-\hbar \hat{J_z} |k,j,m\rangle = j(j+1)\hbar^2-m^2\hbar^2-m\hbar^2 \geq 0$$
$$\langle k,j,m|\hat{J}^2-\hat{J_z}^2+\hbar \hat{J_z} |k,j,m\rangle = j(j+1)\hbar^2-m^2\hbar^2+m\hbar^2 \geq 0$$
Operando las ultimas inecuaciones llegamos a:
$$-(j+1)\leq m \leq j$$
$$-j\leq m \leq j+1$$
Como se cumplen simultáneamente se cumple que $-j\leq m\leq j$
Propiedades de los vectores $\hat{J_-}|k,j,m\rangle$ y $\hat{J_+}|k,j,m\rangle$
1) Si $m=-j$:
$$\hat{J_-} |k,j,-j\rangle=0$$
2) Si $m>-j$:
$$\hat{J_-} |k,j,m\rangle$$
Es un vector no nulo y es autovector de $\hat{J}^2$ y de $\hat{J_z}$ con autovalor $j(j+1)\hbar^2$ y $(m-1)\hbar$ respectivamente.
Esto se puede demostrar si partimos de la relación:
$$[\hat{J}^2,\hat{J_-}]|k,j,m\rangle=0$$
Si expandimos llegamos a
$$\hat{J}^2(\hat{J_-}|k,j,m\rangle)-j(j+1)\hbar^2\hat{J_-}|k,j,m\rangle=0$$
Que corresponde a una ecuación de autovalores, se hace el mismo análisis para $\hat{J_z}$ partiendo de:
$$[\hat{J_z},\hat{J_-}]|k,j,m\rangle=-\hbar\hat{J_-}|k,j,m\rangle$$
Ahora:
1) Si $m=j$
$$\hat{J_+} |k,j,j\rangle=0$$
2) Si $m<j$:
$$\hat{J_+} |k,j,m\rangle$$
Es un vector no nulo y es autovector de $\hat{J}^2$ y de $\hat{J_z}$ con autovalor $j(j+1)\hbar^2$ y $(m+1)\hbar$ respectivamente.
Esto lo podemos comprobar si expandimos las siguientes relaciones y llegar a una ecuaciones de autovalores con el vector dado $\hat{J_+} |k,j,m\rangle$:
$$[\hat{J}^2,\hat{J_+}]|k,j,m\rangle=0$$
$$[\hat{J_z},\hat{J_+}]|k,j,m\rangle=\hbar\hat{J_+}|k,j,m\rangle$$
- En resumen, $\hat{J_-}$ mantiene a $j$ igual pero cambia a $m$ por $m-1$
- Y $\hat{J_+}$ mantiene a $j$ igual pero cambia a $m$ por $m+1$
Si seguimos esta formula de iteración, y al estado $|k,j,m\rangle$ le aplicamos $\hat{J_-}$, esto lo podemos hacer $p$ veces hasta que $m=-j$ y similarmente si aplicamos $\hat{J_+}$, esto lo podemos hacer $q$ veces hasta que $m=j$
$$m-p=-j$$
$$m+q=j$$
Con $p,q\in\mathbb{Z}^+$
$p+q=2j$ donde si $p+q\in\mathbb{Z}^+$ entonces $2j\in\mathbb{Z}^+$
Finalmente $j\in(0,\frac{1}{2},1,\frac{3}{2},2,...)$
Referencias
- Cohen-Tannoudji C., Diu B., Laloe F. (1973) Vol. 1: Quantum Mechanics.
EJERCICIO
Considere un sistema físico arbitrario que tiene como base del espacio de estados los cuatro auto vectores $|j,m_z\rangle$ comunes a $\textbf{J}^2$ y $J_z$ $ (j=0,1)$, $(m_z=-1,0,1)$
Si se tiene el estado normalizado: $$|\Psi \rangle=\alpha |1,1 \rangle +\beta|1,0 \rangle +\gamma |1,-1 \rangle + \eta |0,0 \rangle$$
Calcule el valor medio de $J_z$ y $J_x$ cuando el sistema está en el estado $|\Psi \rangle$, además calcule la probabilidad de todos los resultados posibles de una medida, solo teniendo en cuenta uno de los observables a la vez.
Ejercicio extraído del libro de Cohen Tannoudji
Ejercicio Clase 28 (Experimento de Stern-Gerlach).
Determine, en términos de los estados base $|+\rangle$ y $|-\rangle$, los estados $|\mathbf{\hat{n}}, +\rangle$ tales que
$$\mathbf{\hat{S}}|\mathbf{\hat{S}\cdot\hat{n}}, +\rangle= \frac{\hbar}{2}|\mathbf{\mathbf{\hat{S}}\cdot\hat{n}}, +\rangle$$
donde $\mathbf{\hat{n}}$ es un vector unitario que forma un ángulo $\theta$ respecto al eje z, y un ángulo $\phi = 0$ en el plano xy.
Elaborado por David Andres Pedroza
Solución elaborada por Jonathan Posada:
Acorde a lo visto en clase, la matriz que representa el observable de spin en la dirección $\hat{n}$ en términos de la base {$ |a>, |->$}, es:
$$ (S_{n}) = (S_{x})sin\theta cos\phi + (S_{y}) sin\theta sin \phi + (S_{z}) cos\theta $$
Donde usando la representación matricial de $S_x$, $S_y$, $S_z$, y tomando $\phi = 0$ se tiene que:
$$ \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} cos \theta & sin \theta \\ sin \theta & -cos\theta \\ \end{pmatrix} $$
Donde como vimos, sus autovalores son también $ \pm \frac{\hbar}{2} $ pues siempre es posible rotar el experimento de Stern - Gerlach para que el campo magnético sea paralelo a $\hat{n}$.
Luego, los estados $| \hat{n}, +> $, |\hat{n}, ->$ quedan determinados por los autovectores de la matriz anterior.
Para el estado $|\hat{n}, +>$ (autovector asociado a el autovalor $+ \frac{\hbar}{2}$, la ecuación de atuvalores es:
$$ \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} cos \theta & sin \theta \\ sin \theta & -cos\theta \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} |+> \\ |-> \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$
La matriz anterior puede llevarse a su forma escalonada reducida para obtener dicho autovector. Para esto, aplicar las siguientes operaciones: $$\frac{-sin\theta}{cos\theta - 1} F_1 + F_2\rightarrow F_2$$ y seguidamente $$ F_1 \to \frac{F_1}{cos\theta -1} $$
Se obtiene: $$ \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 1 & \frac{sin \theta}{\cos \theta -1} \\ 0& 0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} |+> \\ |-> \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$
Teniendo en cuenta la siguiente identidad trigonométrica: $\frac{sin \theta}{cos \theta -1} = - cot \frac{\theta}{2} $ se tiene:
$$ \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 1 & - cot \frac{\theta}{2} \\ 0& 0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} |+> \\ |-> \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$
De donde se tiene entonces que el autovector será de la forma:
$$| \hat{n}, +> = \begin{pmatrix} cot \frac{\theta}{2}\\ 1 \end{pmatrix} $$
Y considerando otra identidad trigonométrica: $ cot \frac{\theta}{2} = csc \theta + cot \theta = \frac{cos (\theta \setminus 2)}{sin (\theta \setminus 2)} $
Se obtiene finalmente que el autovector es de la forma
$$| \hat{n}, +> = \begin{pmatrix} cos \frac{\theta}{2}\\ sin \frac{\theta}{2} \end{pmatrix} $$
$$| \hat{n}, +> = cos \frac{\theta}{2}|+> + sin \frac{\theta}{2}|+> $$
Aplicación de la Clase 28 de Marzo: Precesión de Larmor
Precesión de Larmor
Como ya sabemos, el núcleo de un átomo tiene un momento angular intrínseco que ocasiona su rotación alrededor de su propio eje, esto se conoce como Spín. En ausencia de un campo magnético externo este movimiento continua inalterado; sin embargo, si se añade el campo el eje de rotación precesará alrededor de este. Esto se puede ver en la figura 1.
Figura 1. Partícula con spín en ausencia y en presencia de un campo magnético externo respectivamente.
La precesión de Larmor tiene su importancia en la resonancia magnética nuclear, resonancia magnética, resonancia paramagnética de electrones y alineación de granos de polvo cósmico.
La más importante de estas aplicaciones es la resonancia nuclear magnética (RNM), la cual es un fenómeno donde los núcleos que se encuentran en presencia de un campo magnético oscilante responden con una frecuencia similar a la del campo. Para producir este efecto se debe:
1. Alinear los spínes de los núcleos en un campo magnético aplicado constante.
2. Perturbar esta alineación de los spínes con un nuevo campo oscilante que se conoce como "pulso de radiofrecuencia".
3. Detectar la señal de RNM que se generan durante los pulsos. Después de estos pulsos, presenta una precesión con la frecuencia de Larmor del núcleo en cuestión.
Esta técnica es ampliamente usada en la espectroscopía y permite conocer la estructura de moléculas orgánicas, cristales (figura 2). Igualmente, tiene sus aplicaciones en la formación de imágenes médicas como por ejemplo la formación de imágenes por resonancia magnética.
Figura 2. Espectrómetro de resonancia magnética nuclear (RMN).
Bibliografía
Precesión de Larmor.(S.F). Recuperado de:
Presentado por Valentina Pérez Cadavid.
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