Clase 29

Ejercicio clase 29. Preparación de los estados $|+ \rangle$ y $|- \rangle$

Al generar un campo magnético paralelo a un eje arbitrario con dirección u en un experimento de Stern-Gerlach y hacer un agujero en uno de los puntos de "acumulación" de partículas, podemos preparar estados de spin $|+\rangle _{u}$ y $|-\rangle _{u}$. Utilizamos un aparato de Stern-Gerlach como analizador, para el cual las partículas de entrada son las de salida del primer aparato.

Si preparamos las partículas en estado $|+\rangle$ y el analizador mide $S_{z}$, dado que el estado estudiado es autoestado de $S_{z}$, que es lo que buscamos medir, encontraremos la medida asociada al estado de entrada $|+\rangle$, es decir, $+ \frac{\hbar}{2}$.

Ahora, si generamos partículas con estado de spin $\psi = cos(\frac{\theta}{2}) + sin(\frac{\theta}{2})$ (con B en dirección u con ángulos polares $\theta$ y $\phi = 0$ y  medimos $S_{z}$ en el analizador, encontramos partículas en ambos estados asociados a  $+ \frac{\hbar}{2}$ y  $- \frac{\hbar}{2}$, pero cada uno con una probabilidad diferente: para  $|+\rangle =   cos^{2}(\frac{\theta}{2})$ y $|-\rangle =   sin^{2}(\frac{\theta}{2})$.

Suponiendo el caso más general en el que se generan partículas prepradas con estado de spin $\psi = cos(\frac{\theta}{2}) + sin(\frac{\theta}{2})$ y  se busca medir $S_{u}$ con un analizador, encuentre la propabilidad de medir los autovalores $\pm \frac{\hbar}{2} $ de $S_{u}$. 

Solución: Sebastián Montoya Hernández

$_{u}\langle{+}|\psi\rangle^{2}$ , $ _{u}\langle{-}|\psi\rangle^{2} :$

$_{u}\langle{+}|\psi\rangle = [cos\frac{\theta}{2}e^{\frac{i\phi}{2}}\langle{+}|+sin\frac{\theta}{2}e^{\frac{-i\phi}{2}}\langle{-}|][cos\frac{\theta}{2}|+\rangle+sin\frac{\theta}{2}|-\rangle]$

$_{u}\langle{+}|\psi\rangle= cos^{2}\frac{\theta}{2}e^{\frac{i\phi}{2}}+sin^{2}\frac{\theta}{2}e^{\frac{-i\phi}{2}}$

$_{u}\langle{+}|\psi\rangle^{2} = cos^{4}\frac{\theta}{2}e^{i\phi}+sin^{4}\frac{\theta}{2}e^{-i\phi}+2cos^{2}\frac{\theta}{2}sin^{2}\frac{\theta}{2}$

Análogamente,

$_{u}\langle{-}|\psi\rangle = [-sin\frac{\theta}{2}e^{\frac{i\phi}{2}}\langle{+}|+cos\frac{\theta}{2}e^{\frac{-i\phi}{2}}\langle{-}|][cos\frac{\theta}{2}|+\rangle+sin\frac{\theta}{2}|-\rangle]$

$_{u}\langle{-}|\psi\rangle = -sin\frac{\theta}{2}cos\frac{\theta}{2}e^{\frac{i\phi}{2}}+sin\frac{\theta}{2}cos\frac{\theta}{2}e^{\frac{-i\phi}{2}}$

$_{u}\langle{-}|\psi\rangle^{2} = sin^{^{2}}\frac{\theta}{2}cos^{2}\frac{\theta}{2}e^{i\phi}+sin^{2}\frac{\theta}{2}cos^{2}\frac{\theta}{2}e^{-i\phi}-2sin^{^{2}}\frac{\theta}{2}cos^{2}\frac{\theta}{2}$

$_{u}\langle{-}|\psi\rangle^{2} = sin^{^{2}}\frac{\theta}{2}cos^{2}\frac{\theta}{2}(e^{i\phi}+e^{-i\phi}+2)$

Subido por Juan Felipe Castello Arango.