Clase 2. Difracción de Rayos X y Efecto Compton

 

Antes de comenzar con el desarrollo del experimento de difracción de rayos X (Bragg, 1913) y con la discusión del efecto Compton, es necesario introducir unas ideas relativistas.

Relatividad:

El cuadrivector momentum $p \equiv (E/c, p_x, p_y, p_z)$ de donde se supone una partícula con $p_y, p_z = 0$. El producto interno en este espacio cuadridimensional (3 espaciales, 1 temporal) se define con la siguiente métrica:

$$ \eta = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} $$

Así, en general para una partícula con masa diferente de cero se tiene que el modulo al cuadrado del momentum es:

$$p \cdot p = \frac{E^2}{c^2} - p^2= mc$$

Y para la luz, que no tiene masa es $p \cdot p = 0$

$$ p \cdot p = \frac{E^2}{c^2} - p^2= 0 \quad \Rightarrow \quad p = E/c $$

Ley de Bragg:

Se podía hacer a través de un filamento/placa sometido a una diferencia de potencial que emitía electrones relativamente lentos, en el medio una rejilla que hacía que algunos electrones fueran frenados y otros siguieran su camino hacia un camino que los colectan, después de un cierto periodo de aceleración, a una velocidad constante.

Figura 1. Montaje experimental del experimento

La placa, la cual puede ser de diferentes materiales, hace que los electrones se frenen bruscamente lo que produce una radiación conocida como Radiación de frenado o Bremsstrahlung (alemán). Este fenómeno produce un espectro continuo de radiación con una longitud de onda mínima, el cual depende de la energía del electrón, como se muestra a continuación.

Figura 2. Espectro típico de Bremsstrahlung.

Para la detección de este efecto de radiación se usaban placas fotográficas, pero con las rejillas típicas de laboratorio no se obtenían resultados, lo que indicaba que se tenía radiación muy penetrante con longitudes de onda muy cortas, menores incluso que la de la luz visible, por lo que se empezó a usar cristales para su estudio, por ejemplo, de cloruro de sodio, donde se tenía un arreglo de celdas de átomos con cierta separación $d$, la cual era posible conocer a partir del número de Avogadro, el peso de una mol de sal (material del cristal) y la densidad de la sal, los cuales eran todos bien sabidos, dando como resultado $d = 0.28 \cdot 10^{-9} $ m. 

El arreglo de átomos hacía la vez de rejilla, de forma que al incidir la luz sobre el cristal golpeaba los átomos y se reflejaba, cuando dos rayos paralelos rebotaban también de forma paralela, como se muestra en la Figura 3, se producían interferencias con puntos brillantes (interferencias constructivas) en la pared que recibe los rayos si la diferencia de caminos que recorren los rayos es igual a un número entero de longitudes de onda, es decir:

$$ 2d \sin\theta = n \lambda $$

Donde, como ya se había mencionado anteriormente, $d$ es la separación entre los átomos, y $\theta$ es el ángulo de incidencia de los rayos. Esta ecuación es conocida como Ley de Bragg y es utilizada hasta el día de hoy para el estudio de cristales en casos donde se conoce la longitud de onda. Conociendo $d$, como en este caso, es posible conocer la longitud de onda.

Figura 3. Rayos X reflejados por planos de átomos del cristal con separación $d$. 
El rayo reflejado por el plano inferior viaja una distancia
$ 2d\sin\theta $ mayor que el rayo reflejado por el plano superior.

Este experimento permite identificar que los rayos X son ondas electromagnéticas, ya que presentan interferencia, además de corroborar las estructuras atómicas de los materiales planteadas por la teoría atómica.

Otro experimento relacionado con este estudio es utilizando una muestra de polvo que genera un patrón de discos con diferentes radios que dan muestra de las distancias de los planos interatómicos del polvo. Este patrón se conoce como Debye-Scherrer. 

Efecto Compton

Compton, alrededor del año 1921, observó ondas electromagnética (rayos X) interactuar con electrones y notó que la descripción clásica de Maxwell fallaba, ya que la radiación emitida por el electrón difería a la esperada de ser solo una radiación forzada por un movimiento oscilatorio. Compton propone, entonces que la interacción no es de este tipo, sino de una colisión entre partículas.

Se supone que la partícula incidente es un fotón que viaja a la velocidad de la luz $c$ y la segunda partícula que será impactada es un electrón en reposo. El fotón tendrá una energía $E = h\nu$ asociada a un momento $p = E/c$ con masa cero, dando paso a una colisión relativista.

Reemplazando, se tiene que 

$$ p = \frac{h\nu}{c} $$

Se pretende ahora estudiar la colisión utilizando las leyes de conservación y transformación, haciendo un vistazo a la energía y el momento en los instantes anteriores y posteriores de la colisión. Así pues, se debe observar también la energía del fotón ($\gamma$) resultante cuya energía será $E = h\nu'$ en una dirección a un ángulo $\theta$ donde $\nu \neq \nu'$ debido al cambio de momento, para el caso del electrón ($e$) final, tendrá una energía y un momento nuevos a una dirección $\phi$.

Así pues, los cuadrivectores de la situación estarían dados por:

Inicial:

$$E_{\gamma} = E = pc$$

$$E_{e} = mc^2$$

$$P_{e} =\left( 0,0,0,0 \right ) $$

$$P_{\gamma} = \left ( \frac{h\nu}{c}, p,0,0 \right )  $$ 

Final:

$$P'_{\gamma} = E'/c  $$ 

$$P'_{e} =\left(E_e'/c, p_e\cos\theta, - p_e\sin\theta,0 \right ) $$

Analicenos conservación de la energía.

$$ E_{\gamma}+E_{e}=E_{\gamma}'+E_{e}'  \quad \Rightarrow \quad p c+m c^{2}=p'c + \sqrt{m^{2} c^{4}+p_e^{2} c^{2}}$$

$$\left(p c+m c^{2}-p^{\prime} c\right)^{2}=m^{2} c^{4}+p_e^{2} c^{2} \quad \Rightarrow \quad p_e^{2} c^{2}=\left(p c+m c^{2}-p' c\right)^{2}-m^{2} c^{4} \hspace{2cm} (1)$$

Veamos ahora la conservación del momentum.

$$p_{x}^{\text {inicial }}=p_{x}^{\text {final }} \quad \Rightarrow \quad p=p^{\prime} \cos \theta+p_e \cos \phi \quad \Rightarrow \quad p-p^{\prime} \cos \theta=p_{e} \cos \theta \hspace{2cm} (i)$$

$$p_{y}^{inicial}=p_{y}^{\text {final}} \quad \Rightarrow \quad 0=p^{\prime} \sin \theta-p_{e} \sin \phi \Rightarrow p^{\prime} \sin \theta=p_{e} \sin \theta \hspace{2cm} (ii)$$

Elevando al cuadrado (i) y (ii) y sumando:

$$p_e^{2} c^{2}=p^{2} c^{2}-2 p p' \cos \theta+p'^2c^2 \hspace{2cm} (2)$$

Restando (1) y (2) desaparecen las variables relacionadas al electrón y queda unicamente el momentum y la energía del fotón. Usando la propuesta de Plank $E = h\nu=\frac{hc}{\lambda}$ en $p = E/c=h/\lambda$ obtenemos:

$$\boxed{ \lambda' - \lambda = \frac{h}{mc}(1-\cos\theta) }$$

Vemos entonces como la idea de considerar este fenomeno por medio de colisiones de partículas, cuantizando la luz se obtienen resultados coherentes con las mediciones experimentales.

Referencias:

[1] Modern Physics, third edition, Krane. Sección 3.1, pag 73 "Crystal Diffraction of X Rays"

[2] Modern Physics, third edition, Krane. Sección 3.4 pag  87 "The compton effect"